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Il principio di esclusione di Pauli


Il principio di esclusione di Pauli regola la fisica dei corpi la cui materia si trova in uno stato di alta densità, come le nane bianche e le stelle di neutroni. Il principio vieta a particelle come elettroni, protoni e neutroni di occupare lo stesso stato quantico, cioè sostanzialmente di avere contemporaneamente gli stessi valori di massa, velocità, posizione e spin (lo spin è una quantità legata alla rotazione delle particelle su loro stesse). Massa e spin sono quantità intrinseche delle particelle.
Nella sua fase stabile ordinaria, una stella si trova in uno stato di equilibrio in cui il peso esercitato dalla massa è controbilanciato dalla forza della pressione derivante dalle reazioni termonucleari che avvengono all’interno. Quando il combustibile nucleare si esaurisce (per il Sole ciò avverrà tra circa cinque miliardi di anni), cessa anche la pressione interna e la stella crolla su sé stessa sotto il proprio peso, diventando una nana bianca, cioè un oggetto stellare con una densità molto elevata (una zolletta della sua materia ha una massa dell’ordine di qualche decina di tonnellate), ma comunque ancora stabile.
Quale forza impedisce a una nana bianca di collassare completamente?
La risposta a questa domanda si ha nell’ambito della meccanica quantistica.
Le condizioni di una stella nella sua fase ordinaria sono ben descritte dalla fisica classica, secondo la quale la pressione di una sfera di gas, com’è una stella, è proporzionale alla sua temperatura (secondo la ben nota espressione termodinamica P=nkT), con quest’ultima mantenuta alta dalle reazioni termonucleari. Per lo stato di materia di una nana bianca tale descrizione non è più valida e la pressione che controbilancia il peso deriva dalla velocità degli elettroni che la costituiscono (alle temperature e pressioni tipiche dell’interno delle stelle, gli elettroni non sono più legati ai nuclei a formare atomi, ma si muovono liberamente). A causa dell’alta densità, gli elettroni sono molto vicini tra loro e diversi di essi si trovano nella stessa posizione, intesa in senso quantistico (la loro indistinguibilità è una conseguenza del principio di indeterminazione di Heisenberg, secondo il quale la posizione di un elettrone non si può conoscere con precisione assoluta). Per il principio di esclusione, gli elettroni con lo stesso spin devono pertanto distiguersi per la loro velocità, cioè non possono muoversi tutti lentamente: più elettroni sono compressi in un piccolo spazio, più sono quelli con velocità differenti e i diversi movimenti danno origine a una pressione che si oppone a ogni tentativo di comprimerli ulteriormente. Il risultato pratico del principio di esclusione di Pauli è che ogni piccolo volume di spazio può contenere soltanto un certo numero di particelle che si muovono a una particolare velocità; si possono aggiungere particelle, ma solo aumentando le loro velocità. Questa pressione di origine quantistica non è legata alla temperatura interna stellare (l’energia cinetica degli elettroni aumenta all’aumentare della densità) e sovrasta ogni altra pressione che abbia origine dall’energia termica delle particelle: Le nane bianche permangono pertanto nel loro stato di equilibrio senza bisogno di reazioni nucleari: anche quando si raffreddano non perdono il sostegno della loro pressione interna e quindi non si contraggono (gli elettroni continuano a muoversi anche alla temperatura minima possibile, lo zero assoluto, derivante dalla mancanza delle reazioni nucleari, perché non possono disporsi tutti nello stesso stato di minima energia).
C’è comunque un limite allo stato di equilibrio delle nane bianche: se la massa aumenta, e con essa la densità, gli elettroni più veloci si muoveranno a velocità che si avvicinano a quella della luce e in tale situazione bisogna prendere in considerazione gli effetti relativistici. Per masse maggiori di 1,4 masse solari (limite di Chandrasekhar), neppure la pressione degli elettroni può impedire l’ulteriore collasso gravitazionale, perché forzando il loro movimento fino a velocità prossime a quella della luce s’indebolisce la resistenza del gas, cioè la sua capacità di opporsi alla compressione. Nel breve tempo di un secondo la nana bianca collassa e diventa una stella di neutroni (gli elettroni si combinano con i protoni per formare neutroni), di pochi chilometri di diametro. A questo punto l’equilibrio è assicurato dal principio di esclusione di Pauli applicato ai neutroni, ma se in questa fase la massa supera il valore di circa 3 masse solari, neppure la pressione dei neutroni può fermare il collasso e la stella diventa un buco nero, cioè, sostanzialmente, la materia di cui era fatta la stella cessa di esistere.

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