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La scala della meccanica quantistica


La meccanica quantistica si occupa del mondo microscopico (ogni tentativo di applicarla al mondo macroscopico è privo di ogni fondamento!), ma gioca un ruolo importante anche in cosmologia (applicata all'Universo primordiale, di dimensioni trascurabili) e nella fisica dei corpi collassati. I suoi principi sono intuitivamente molto difficili da comprendere, perché contrastano con le radicate convinzioni del senso comune, basate sui fenomeni della vita quotidiana. Ma qual è la scala della meccanica quantistica?
Per rispondere a questa domanda bisogna prendere in considerazione la grandezza fondamentale della meccanica quantistica, ossia la costante di Planck, h: il suo valore, confrontato con quello di altre grandezze aventi le stesse dimensioni, determina lo stato di quantizzazione di un sistema fisico. Tale costante lega l'energia alla frequenza mediante la relazione E=hv ed è stata introdotta da Planck nel 1900 per cercare di porre riparo a una grave falla della fisica classica nel calcolo teorico dell'energia totale della radiazione termica (radiazione di corpo nero), che risultava essere infinita! Planck ipotizzò che, a differenza di quanto sostenuto nell'ambito della fisica classica, l'energia totale disponibile non era ugualmente distribuita tra tutte le possibili infinite frequenze di oscillazione, ma poteva esistere soltanto sotto forma di pacchetti discreti hv, ognuno dei quali direttamente proporzionale alla frequenza. In questo modo non è ammesso qualunque valore di energia per le oscillazioni, ma soltanto un insieme di valori multiplo intero della quantità hv  (una, due, tre... volte hv) e nel calcolo dell'energia totale non tutte le infinite oscillazioni possono essere prese in considerazione, per cui la somma totale resta finita (all'aumentare della frequenza v i pacchetti hv saranno sempre più grandi e, fissato un limite energetico qualsiasi, ci sarà sempre una frequenza per cui il valore hv sarà maggiore di tale limite, e che quindi non contribuirà al computo totale dell'energia).
Il valore della costante h, calcolato per la prima volta da Planck inserendolo nelle leggi che descrivevano il comportamento della radiazione termica, è piccolissimo (6,6·10-34 Js) rispetto alla scala della vita quotidiana e sancisce la validità della meccanica quantistica soltanto nel mondo microscopico. Le dimensioni fisiche di h sono quelle di un prodotto tra energia e tempo (Js, in unità SI) e corrispondono a una grandezza che nella meccanica classica è nota con il nome di 'azione' e interviene nella formulazione del principio variazionale di Hamilton. Il confronto tra il valore estremamente piccolo di h e quello molto più grande di grandezze dimensionalmente omogenee del mondo macroscopico è reso più semplice dai seguenti passaggi dimensionali:

[azione]=[energia]/[frequenza]=[massa]·[velocità]2/[frequenza]=
=[massa]·[lunghezza]2/([tempo]-1[tempo]2)=
=[massa]·([lunghezza]/[tempo])·[lunghezza]=[massa]·[velocità]·[lunghezza].

Presentiamo un esempio numerico chiarificatore, prendendo in considerazione il contributo della costante h nel principio di indeterminazione di Heisenberg, fondamentale nella meccanica quantistica. Secondo tale principio, non è possibile conoscere contemporanemente e in maniera esatta la posizione e la quantità di moto di una particella (nel suo enunciato generale il principio coinvolge anche altre coppie di grandezze). Più precisamente, tanto meglio conosciamo la posizione di una particella, tanto più incerta diventa la sua quantità di moto, o, analogamente, la sua velocità, e viceversa; ne consegue che nel mondo microscopico il concetto di traiettoria perde di significato fisico. È importante sottolineare che tale limitazione è di principio, cioè non dipende dalle imperfezioni degli strumenti utilizzati per la misurazione.
Si può comprendere questo principio immaginando un'esperienza ideale per determinare la posizione di una particella illuminandola. Quest'operazione presuppone un contatto tra i fotoni della luce e la particella, che modifica il moto della particella stessa. Si può diminuire l'intensità della luce, ma anche emettendo un fotone alla volta la determinazione  della posizione della particella cambia il moto di quest'ultima in una maniera che non possiamo conoscere. Ragionando in termini di frequenza (o, analogamente, di energia, ricordando la relazione E=hv), il cambiamento della velocità della particella è tanto maggiore quanto maggiore è la frequenza della luce, cioè quanto più precisa è la determinazione della posizione. Si può pensare di utilizzare fotoni di frequenza minore (ossia di lunghezza d'onda maggiore), per disturbare meno il moto della particella, ma ecco che allora emerge l'indeterminazione di principio della meccanica quantistica: la posizione di una particella investita da una radiazione si può conoscere con un margine di errore (il potere risolutivo di un microscopio) che cresce con la lunghezza d'onda! In conclusione, utilizzando luce di alta frequenza si localizza con maggior precisione la particella, ma si disturba di più il suo moto; al contrario, con luce di bassa frequenza si disturba meno il moto della particella ma si perde l'informazione sulla sua posizione.
Il principio di indeterminazione fissa un limite per il nostro grado di conoscenza, che deriva dalla natura stessa delle cose. L'osservazione di un oggetto è accompagnata inevitabilmente da una perturbazione: soltanto se tale perturbazione è trascurabile l'oggetto può essere descritto dalla fisica classica.
Indicando con p e q rispettivamente la quantità di moto e la posizione di una particella, il principio di indeterminazione si esprime nel modo seguente:

DpDqh

(si noti come l'indeterminazione sulla quantità di moto, Dp, sia inversamente proporzionale a quella sulla posizione, Dq, per cui, come emerso precedentemente,  se aumenta una diminuisce l'altra).
Facendo comparire la velocità, otteniamo (essendo p=mv, con m massa della particella)

DvDqh/m.

Consideriamo dapprima una particella macroscopica, come un pallino di piombo di massa 10-6 kg (cioè un milligrammo). Si avrà

DvDq≈6,6·10-34/10-6≈10-28,

che può essere soddisfatta prendendo per esempio

Dv10-14 m/s, Dq10-14 m,

indeterminazione assolutamente trascurabile dal punto di vista macroscopico.
Per un elettrone, invece, avente massa di circa 10-30 kg, si ha

DvDq6,6·10-34/10-30≈10-4.

Poiché all'interno di un atomo per un elettrone si ha Dq≈10-10 m (diametro dell'atomo), l'indeterminazione della sua velocità risulta essere

Dv≈10-4/10-10=106 m/s,

enorme su scala atomica! In considerazione di ciò non ha senso disegnare con linee le orbite dell'elettrone nell'atomo.

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