La scala della meccanica quantistica
La meccanica quantistica si occupa del
mondo microscopico (ogni tentativo di applicarla al mondo macroscopico
è privo di ogni fondamento!), ma gioca un ruolo importante anche
in cosmologia (applicata all'Universo primordiale, di dimensioni trascurabili)
e nella fisica dei corpi collassati. I suoi principi sono intuitivamente
molto difficili da comprendere, perché contrastano con le radicate
convinzioni del senso comune, basate sui fenomeni della vita quotidiana.
Ma qual è la scala della meccanica quantistica?
Per
rispondere a questa domanda bisogna prendere in considerazione la grandezza
fondamentale della meccanica quantistica, ossia la costante di Planck,
h: il suo valore, confrontato
con quello di altre grandezze aventi le stesse dimensioni, determina
lo stato di quantizzazione di un sistema fisico. Tale costante lega
l'energia alla frequenza mediante la relazione E=hv ed è stata introdotta
da Planck nel 1900 per cercare di porre riparo a una grave falla della
fisica classica nel calcolo teorico dell'energia totale della radiazione
termica (radiazione di corpo nero), che risultava essere infinita! Planck
ipotizzò che, a differenza di quanto sostenuto nell'ambito della
fisica classica, l'energia totale disponibile non era ugualmente distribuita
tra tutte le possibili infinite frequenze di oscillazione, ma poteva
esistere soltanto sotto forma di pacchetti discreti hv, ognuno dei quali direttamente
proporzionale alla frequenza. In questo modo non è ammesso qualunque
valore di energia per le oscillazioni, ma soltanto un insieme di valori
multiplo intero della quantità hv (una, due, tre... volte hv)
e nel calcolo dell'energia totale non tutte le infinite oscillazioni
possono essere prese in considerazione, per cui la somma totale resta
finita (all'aumentare della frequenza v i pacchetti hv saranno
sempre più grandi e, fissato un limite energetico qualsiasi,
ci sarà sempre una frequenza per cui il valore hv
sarà maggiore di tale limite, e che quindi non contribuirà
al computo totale dell'energia).
Il valore della costante h, calcolato per la prima volta da Planck inserendolo nelle leggi che descrivevano
il comportamento della radiazione termica, è piccolissimo (≈6,6·10-34
Js) rispetto alla scala della vita quotidiana e sancisce la validità
della meccanica quantistica soltanto nel mondo microscopico. Le dimensioni
fisiche di h sono quelle di un
prodotto tra energia e tempo (Js, in unità SI) e corrispondono
a una grandezza che nella meccanica classica è nota con il nome
di 'azione' e interviene nella formulazione del principio variazionale
di Hamilton. Il confronto tra il valore estremamente piccolo di h
e quello molto più grande di grandezze dimensionalmente omogenee
del mondo macroscopico è reso più semplice dai seguenti
passaggi dimensionali:
[azione]=[energia]/[frequenza]=[massa]·[velocità]2/[frequenza]=
=[massa]·[lunghezza]2/([tempo]-1[tempo]2)=
=[massa]·([lunghezza]/[tempo])·[lunghezza]=[massa]·[velocità]·[lunghezza].
Presentiamo
un esempio numerico chiarificatore, prendendo in considerazione il contributo
della costante h nel principio di indeterminazione di Heisenberg, fondamentale nella meccanica
quantistica. Secondo tale principio, non è possibile conoscere
contemporanemente e in maniera esatta la posizione e la quantità
di moto di una particella (nel suo enunciato generale il principio coinvolge
anche altre coppie di grandezze). Più precisamente, tanto meglio
conosciamo la posizione di una particella, tanto più incerta
diventa la sua quantità di moto, o, analogamente, la sua velocità,
e viceversa; ne consegue che nel mondo microscopico il concetto di traiettoria
perde di significato fisico. È importante sottolineare che tale
limitazione è di principio, cioè non dipende dalle imperfezioni
degli strumenti utilizzati per la misurazione.
Si può comprendere questo principio immaginando un'esperienza
ideale per determinare la posizione di una particella illuminandola.
Quest'operazione presuppone un contatto tra i fotoni della luce e la
particella, che modifica il moto della particella stessa. Si può
diminuire l'intensità della luce, ma anche emettendo un fotone
alla volta la determinazione della
posizione della particella cambia il moto di quest'ultima in una maniera
che non possiamo conoscere. Ragionando in termini di frequenza (o, analogamente,
di energia, ricordando la relazione E=hv), il
cambiamento della velocità della particella è tanto maggiore
quanto maggiore è la frequenza della luce, cioè quanto
più precisa è la determinazione della posizione. Si può
pensare di utilizzare fotoni di frequenza minore (ossia di lunghezza
d'onda maggiore), per disturbare meno il moto della particella, ma ecco
che allora emerge l'indeterminazione di principio della meccanica quantistica:
la posizione di una particella investita da una radiazione si può
conoscere con un margine di errore (il potere risolutivo di un microscopio)
che cresce con la lunghezza d'onda! In conclusione, utilizzando luce
di alta frequenza si localizza con maggior precisione la particella,
ma si disturba di più il suo moto; al contrario, con luce di
bassa frequenza si disturba meno il moto della particella ma si perde
l'informazione sulla sua posizione.
Il principio di indeterminazione fissa un limite per il nostro grado
di conoscenza, che deriva dalla natura stessa delle cose. L'osservazione
di un oggetto è accompagnata inevitabilmente da una perturbazione:
soltanto se tale perturbazione è trascurabile l'oggetto può
essere descritto dalla fisica classica.
Indicando con p
e q rispettivamente la quantità di moto e la posizione
di una particella, il principio di indeterminazione si esprime nel modo
seguente:
DpDq≈h
(si noti come l'indeterminazione sulla
quantità di moto, Dp, sia inversamente proporzionale a quella sulla posizione,
Dq, per cui, come
emerso precedentemente, se
aumenta una diminuisce l'altra).
Facendo comparire la velocità, otteniamo (essendo p=mv, con
m massa della particella)
DvDq≈h/m.
Consideriamo dapprima una particella
macroscopica, come un pallino di piombo di massa 10-6 kg
(cioè un milligrammo). Si avrà
DvDq≈6,6·10-34/10-6≈10-28,
che può essere soddisfatta prendendo
per esempio
Dv≈10-14 m/s, Dq≈10-14 m,
indeterminazione assolutamente trascurabile
dal punto di vista macroscopico.
Per un elettrone, invece, avente massa di circa 10-30 kg,
si ha
DvDq≈6,6·10-34/10-30≈10-4.
Poiché all'interno di un atomo
per un elettrone si ha Dq≈10-10
m (diametro dell'atomo), l'indeterminazione della sua velocità
risulta essere
Dv≈10-4/10-10=106
m/s,
enorme su scala atomica! In considerazione di ciò non ha senso disegnare con linee le orbite dell'elettrone nell'atomo.
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