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IDEE E PROPOSTE

Verso la nuova gravità

Sul principio di equivalenza

Nuova teoria della gravità 

Verso la nuova gravità
Domenico Annunziata
(d.annunziata@libero.it)

Nella fisica classica si assume come riferimento inerziale (RI), rispetto al quale sono considerati validi i principi della dinamica, il sistema delle cosiddette stelle fisse.
Secondo il principio d’inerzia, in un RI un corpo su cui non agisce nessuna forza continua a star fermo o a muoversi di moto rettilineo uniforme. Nei sistemi non inerziali si manifestano le forze “inerziali” legate all’inerzia dei corpi, ossia alla loro propensione a non accelerare; esse non sono considerate forze realmente esercitate sul corpo da altri corpi. Lo stesso corpo osservato da un sistema inerziale non risulta soggetto a quel tipo di forze. Per esempio, un corpo che ruota attorno ad un asse, rispetto a un RI è soggetto alla forza centripeta, responsabile del suo cambiamento di direzione e rivolta verso l’asse. Lo stesso corpo osservato dal sistema in rotazione, risulta fermo. Affinché valga ancora il principio d’inerzia, e con esso le leggi della meccanica, occorre pensare che la forza centripeta sia equilibrata da una forza uguale e opposta: la forza centrifuga. Questa è una forza inerziale ritenuta fittizia, perché rispetto ad un RI non esiste, appare soltanto nello spazio “relativo”, rotante con il corpo considerato. Quando, allora, una forza è considerata reale? Ovviamente deve essere ritenuta reale se l’avvertiamo e la possiamo misurare indipendentemente dal sistema di riferimento in cui ci troviamo. Le forze che effettivamente un osservatore non inerziale misura con un dinamometro, non sono apparenti ma reali. Se le forze inerziali compaiono soltanto quando la descrizione del moto avviene in sistemi di riferimento in moto vario rispetto alle stelle fisse, sorge il dubbio che la loro esistenza sia legata ad un’azione ignota e misteriosa delle stelle. Il principio d’inerzia è un principio fisico, cioè un’asserzione non dimostrabile e che nessuna esperienza finora sembra aver smentita. Le cose stanno in questo modo senza spiegare perché. E’ lecito asserire che i principi della fisica sono leggi di natura e pertanto non ha senso cercare di spiegarli con qualche principio ancora più basilare? Frasi del tipo:“i corpi procedono di moto rettilineo uniforme a causa dell’inerzia”, “i corpi cadono a causa della gravità”,”posizione e velocità di un elettrone sono indeterminate a causa del principio di indeterminazione”…, spiegano veramente perché certi fenomeni si verificano o piuttosto evidenziano soltanto la nostra ignoranza? Newton era convinto che i sistemi non inerziali potessero essere distinti da quelli inerziali dal momento che nei primi appaiono le forze apparenti. Tali forze sarebbero una conseguenza del fatto che il sistema è accelerato rispetto allo spazio assoluto. Per dimostrare l’esistenza di questo sistema privilegiato Newton propose l’esperimento del secchio rotante. Riempiamo un secchio di acqua e lo sospendiamo per il manico ad una corda. Dopo aver attorcigliato la corda, la lasciamo libera in modo da porre in rotazione il secchio. Inizialmente la superficie dell’acqua rimane orizzontale, ma quando il secchio comincia a trasmettere il moto rotatorio all’acqua, a causa delle forze di adesione tra acqua e secchio, la superficie assume una forma concava. Newton riteneva che inizialmente, quando l’acqua è in moto rispetto alle pareti del secchio, la superficie piana indica il suo stato di quiete rispetto allo spazio assoluto, successivamente, quando è trascinata dalle pareti e quindi immobile rispetto alle stesse, la superficie concava testimonia il suo stato di moto rispetto allo spazio assoluto. Il sollevamento dell’acqua, secondo Newton, è la prova di un’accelerazione rispetto allo spazio assoluto. Un accelerometro fissato ad un sistema in moto permette di stabilire quale delle due circostanze si verifica: se registra un’accelerazione il sistema accelera a causa di una forza non gravitazionale oppure è fermo su un pianeta; se, invece, non registra alcuna accelerazione il sistema si muove di moto rettilineo uniforme, e quindi non è soggetto ad alcuna forza, oppure è in caduta libera in un campo gravitazionale. Se due astronavi lontane da astri si dirigono l’una verso l’altra con moto relativo accelerato, gli accelerometri fissati su esse stabiliscono se sono entrambe realmente accelerate oppure lo è soltanto una di esse. Le forze inerziali si osservano soltanto nell’astronave che effettivamente accelera. Allora l’accelerazione di un corpo, evidenziata da un accelerometro, è relativa allo spazio assoluto di Newton, alle stelle fisse, o a qualche altra cosa? All’inizio del XVIII secolo, il vescovo e filosofo irlandese George Berkeley sottopose le idee di Newton ad una revisione critica. Secondo Berkeley, se sparissero le stelle, la superficie dell’acqua del secchio di Newton rimarrebbe sempre piana. Quindi mentre per Newton la causa dell’inerzia è lo spazio assoluto, per Berkeley, invece, è l’insieme delle stelle lontane. Ma cosa hanno di particolare le stelle o le galassie lontane? Se non fossimo in grado di vederle a cosa attribuiremmo l’inerzia? La critica di Berkeley alla meccanica di Newton fu ripresa dal fisico e filosofo austriaco Ernst Mach sul finire del XIX secolo. Mach non credeva nello spazio assoluto che aveva supposto Newton e sosteneva che l’inerzia di un corpo è determinata dalla distribuzione media delle masse nell’Universo. Ad esempio il rigonfiamento equatoriale della Terra sarebbe dovuto alla sua rotazione rispetto alla distribuzione media delle stelle (galassie). Queste idee possono essere riassunte nel Principio di Mach: l’inerzia di un corpo è dovuta alla sua interazione con tutte le masse presenti nell’Universo e al suo stato di moto rispetto ad esse. Mach, però, non ha spiegato in cosa consisterebbe questa interazione.
L’accelerazione per Mach assume solo carattere relativo, non assoluto.

Nella fisica moderna l’origine e la natura dell’inerzia rappresentano un mistero. Si assume, convenzionalmente, che l’opposizione istantanea all’accelerazione degli oggetti materiali sia una proprietà universale della materia, conosciuta come inerzia. Ci sono due punti di vista differenti relativi all’origine della massa inerziale. In un caso è stata assunta semplicemente come una proprietà intrinseca della materia senza ulteriori spiegazioni a riguardo. Nell’altro caso, che è il punto di vista di Mach, la massa inerziale è stata considerata come qualcosa che si origina per la presenza di tutta la materia dell’universo. Per chiarire il concetto si ricorre al seguente esperimento immaginario. L’inerzia della materia, in un sistema di riferimento fissato ad un corpo in rotazione, si manifesta con la forza centrifuga. Immaginiamo un universo contenente un solo corpo; secondo Mach è assurdo esigere che in un tale universo questo corpo possa essere in grado di ruotare: la rotazione è un particolare moto e pertanto ha senso soltanto rispetto a qualche altro corpo assunto come riferimento. Per questo motivo la forza centrifuga non potrebbe manifestarsi e conseguentemente non potremmo attribuire l’inerzia al corpo. Se però in questo universo introducessimo un secondo corpo, la rotazione del primo, in virtù del sistema di riferimento esterno, sarebbe nuovamente possibile e l’inerzia dell’oggetto rotante apparirebbe. Questo esperimento irrealizzabile, e quindi privo di fondamento, permetterebbe di interpretare il corpo esterno come la causa dell’inerzia di quello in rotazione. Anche ora Mach non spiega come farebbe un corpo ad avvertire la presenza dell’altro e quindi a manifestare l’inerzia. Cosa c’è fra i due corpi? Esiste un mezzo che media l’interazione? Poiché per Mach il moto è relativo, ossia ognuno ruota rispetto all’altro, i due corpi dovrebbero essere entrambi soggetti alla forza centrifuga e quindi schiacciati ai poli. Consideriamo il moto di rotazione della Terra attorno al proprio asse: Mach e i relativisti sostengono che si tratta di un moto relativo alle “stelle fisse” e non di un moto assoluto, nel senso che se fossero le “stelle fisse” a ruotare attorno alla Terra ugualmente il nostro pianeta sarebbe schiacciato ai poli. Ma se fossero le stelle a ruotare attorno alla Terra esse percorrerebbero un giro completo attorno ad essa in sole ventiquattro ore e quindi dovrebbero avere una velocità molto maggiore di quella della luce; ma ciò, come sappiamo, è impossibile. Inoltre si dovrebbe ammettere l’esistenza di una forza misteriosa, e praticamente infinita, sprigionata dalla Terra per produrre l’accelerazione centripeta di tutto il firmamento. Einstein condivide l’idea di Mach e propone il seguente esempio. Consideriamo nello spazio due corpi fluidi connessi con una fune, molto lontani da tutti gli altri corpi e tra loro. Supponiamo che i due corpi ruotino, l’uno rispetto all’altro, attorno all’asse rappresentato dalla fune. In base alla meccanica classica, se uno dei due corpi è sferico mentre l’altro è schiacciato ai poli, ciò dipende dal fatto che il primo è in quiete in un sistema di riferimento inerziale, mentre il secondo ruota in tale sistema, attorno alla fune, e pertanto avverte forze apparenti (inerziali) che lo fanno espandere nella zona equatoriale. Secondo Mach ed Einstein il diverso comportamento dei due corpi dipende dalle masse lontane che in tal modo fissano i riferimenti inerziali. Einstein, con la RG, ammette che la presenza di masse modifichi la geometria dello spazio-tempo, ma in qualche modo si allontana dalle idee machiane come si evince da alcune soluzioni delle equazioni di campo. Nel modello standard della fisica delle particelle si postula l’esistenza di un campo scalare che pervade tutto l’universo e la cui principale funzione è quella di generare la massa delle particelle elementari. Si tratta del campo di Higgs. La massa sarebbe trasferita alle particelle dal campo di Higgs che la contiene sotto forma di energia; ma non si comprende come questa energia possa acquistare l’inerzia ossia la proprietà di resistenza all’accelerazione.
Alcuni fisici hanno proposto una nuova teoria basata sul concetto di campo elettromagnetico del vuoto o energia di punto zero. Secondo loro le proprietà inerziali della materia potrebbero essere originate nell’interazione tra il campo elettromagnetico, i componenti fondamentali della materia ed il vuoto quantistico. Come Mach, questi autori concepiscono l’inerzia non come una proprietà intrinseca del corpo, ma come qualcosa che viene indotta quando il corpo è soggetto ad un moto accelerato rispetto ad un sistema di riferimento cosmico.

Nei limiti degli errori sperimentali la massa inerziale e la massa gravitazionale di un corpo sembrano essere proporzionali alla quantità di materia del corpo e quindi proporzionalitra loro. Secondo la meccanica classica sono grandezze concettualmente diverse e solo per caso la massa inerziale e la massa gravitazionale di un corpo hanno la stessa misura. Poiché corpi aventi uguali masse inerziali hanno anche uguali masse gravitazionali, usualmente misuriamo la massa di un oggetto pesandolo, usando quindi la gravità. Ma se vogliamo misurare la massa di un corpo in assenza di gravità, per esempio in un’astronave che fluttua nello spazio profondo a motori spenti, dobbiamo necessariamente accelerarlo e quindi sfruttare la sua inerzia. Si intravede una certa affinità tra inerzia e gravità dal momento che una massa può essere misurata servendoci dell’una o dell’altra proprietà. Ma possiamo dire con assoluta certezza che sono la stessa cosa? Per poter rispondere bisogna capire cosa sono essenzialmente l’inerzia e la gravità. L’accettazione del principio di Mach comporta il fatto che la presenza di masse di notevoli dimensioni, come galassie o ammassi di galassie, possano alterare l’inerzia di un corpo. A differenza di Mach, Einstein, nello sviluppo della teoria della RG, arrivò alla conclusione che, in un opportuno sistema di riferimento, la presenza di masse, anche notevoli, in prossimità di un corpo, non ne modifica l’inerzia. Come spiegare allora la causa dell’inerzia e l’esistenza delle forze inerziali? Le stelle fisse agirebbero sullo spazio creando quelle sue caratteristiche, dette “metriche”, in virtù delle quali esso agirebbe sui corpi condizionandone il movimento. Questa reciprocità d’azione, dei corpi (le stelle fisse) sullo spazio e dello spazio sui corpi venne prospettata per la prima volta dal matematico tedesco Bernhard Riemann. Come dice Hermann Weyl: “Riemann asserisce che lo spazio in se stesso non è che una varietà tridimensionale priva di ogni forma; esso acquista però una forma definita grazie all’intervento di un contenuto materiale che lo riempie, e determina la sua struttura metrica.” Dunque per Riemann sono i corpi che determinano la “metrica” dello spazio, ossia la geometria che esso manifesta. Della stessa idea era il matematico francese Henry Poincaré sostenendo che “lo spazio è in realtà amorfo e solo le cose che sono al suo interno gli danno una forma”. Anche Einstein nel 1915 con la sua Teoria della Relatività Generale riprende l’idea di Riemann dell’azione dei corpi sullo spazio, affermando che lo spazio-tempo è curvato dalla presenza della materia. La deviazione dei raggi luminosi provenienti dalle stelle ‘vicine’ al Sole, fotografata durante l’eclisse totale di Sole del 29 maggio 1919, ne sarebbe una prova. Galilei aveva notato che oggetti leggeri e oggetti pesanti lasciati cadere dalla stessa altezza raggiungono il suolo nello stesso istante ossia che tutti i corpi cadono con la medesima accelerazione indipendentemente dalla loro massa. Questo fenomeno è noto come principio di equivalenza debole o di Galilei (PE). Newton interpretò il fenomeno ammettendo che i corpipiù pesanti, avendo massa maggiore, hanno anche un’inerzia maggiore, intendendo per inerzia la tendenza di un corpo ad opporsi ad una eventuale variazione di velocità: per esempio, una sfera di piombo è attratta verso il basso con una forza molto più grande di una palla di legno di uguale raggio, ma resiste all’accelerazione molto più fortemente. Consideriamo ora la massa di un oggetto, intesa, a livello intuitivo, come la quantità di materia che esso contiene. Nei limiti degli errori sperimentali la massa inerziale e il peso sono entrambi proporzionali alla massa e quindi proporzionalitra loro. La differenza, secondo la meccanica classica, è che l’inerzia è una proprietà intrinseca della materia, mentre il peso dipende dalla gravità, dimenticando che anche la gravità dipende dalla massa. Pertanto, secondo la meccanica classica, massa inerziale e massa gravitazionale di un corpo sono grandezze concettualmente diverse e solo per caso hanno la stessa misura. L’inerzia è una proprietà più generale, più universale della gravità. L’inerzia si può considerare una grandezza assoluta dipendente solo dalla massa del corpo, la gravità, invece, è un fenomeno relazionale che una massa manifesta solo in presenza di altre masse. Anche le particelle subatomiche sembrano dotate d’inerzia dal momento che possono essere accelerate da forze opportune; ciò comporta che hanno una massa. Ma per una particella subatomica è ancora vero che la sua massa inerziale coincide con la massa gravitazionale, come vorrebbe il principio di equivalenza?
Nulla ci induce a credere che le particelle subatomiche subiscano gli effetti della gravitazione, la quale potrebbe essere un effetto dovuto alla complessità strutturale dei corpi e quindi un fenomeno emergente. Non si è mai misurato il peso delle particelle subatomiche né si è osservato se a distanze piccolissime esse interagiscono e con quale legge. L’energia risente della gravità? Secondo la RG la risposta è affermativa. Ma perché un elettrone veloce dovrebbe pesare più di un elettrone fermo, una molla compressa più di una molla a riposo, un corpo caldo più di uno freddo? Non risulta dall’esperienza che il peso di un corpo dipenda dalla velocità, dalla temperatura o dalla sua energia interna. Qual è il legame profondo fra inerzia e gravità? Se massa inerziale e massa gravitazionale sono equivalenti come mai un fotone evidenzia una massa gravitazionale nel senso che si flette quando passa in prossimità di un grosso astro pur avendo massa inerziale nulla? Cosa è essenzialmente la gravità? Ha senso chiedersi con quale velocità si propaga la forza di gravità da un corpo ad un altro? Se il Sole si disintegrasse in un dato istante quanto tempo dopo la Terra abbandonerebbe la sua orbita? Prima o dopo l’istante in cui non vedremmo più la luce del Sole? Non c’è speranza che queste domande possano ricevere una risposta soddisfacente se non si comprende come si origina la forza di gravità. Newton ha spiegato come si determina la forza gravitazionale, ma non la sua origine né il meccanismo di trasmissione dell’interazione fra due corpi. La formula F = GMm/d 2 ci dice, infatti, come si calcola l’intensità della forza di interazione, conoscendo le masse dei due corpi e la loro distanza, ma non spiega qual è la causa della gravità né afferma che essa, qualunque sia la sua natura, risieda nei corpi. Inoltre non spiega, anche se si parla di attrazione, se, a causa della forza di gravità, due corpi sono effettivamente attratti o piuttosto spinti l’uno verso l’altro. In ogni caso la legge di Newton non afferma che la gravità sia una proprietà dipendente esclusivamente dalla massa dei corpi. Un modo per stabilire se per effetto della forza di gravità un corpo è attratto o spinto verso un astro è quello di analizzare l’eventuale deformazione che esso subisce quando si trova ad una certa distanza dall’astro. Se si allunga è attratto, se invece si accorcia allora è spinto verso l’astro. Tirare o spingere un oggetto rigido con una data forza non comporta alcuna differenza dinamica; ma se l’oggetto è facilmente deformabile la forza applicata lo allungherà o lo comprimerà a seconda che lo tiri o lo spinga. Si capisce che la questione se la gravità attrae o spinge ha a che fare col fenomeno delle maree; ritorneremo sull’argomento. Senza la gravità i corpi non potrebbero esistere. Senza la gravità non esisterebbero le galassie, le stelle, i pianeti. Non esistendo le stelle e quindi le reazioni nucleari che trasformano l’idrogeno in elementi più pesanti, non si potrebbero formare neppure pianeti, satelliti, asteroidi e, in ultima analisi, i corpi in generale. Quindi la causa dell’esistenza di qualsiasi oggetto nell’Universo va ricercata nella gravità: i corpi esistono perché esiste la gravità la quale, a sua volta, si manifesta tramite i corpi.

Newton non ha spiegato neppure cos’è l’inerzia. Da dove proviene la tendenza di un corpo ad opporsi alle variazioni della sua velocità? Quale relazione lega l’inerzia alla massa del corpo? Che rapporto fisico esiste fra inerzia e gravità? Newton non ha spiegato cosa sia essenzialmente la gravità (hipotheses non fingo) anche se aveva qualche idea sulla sua origine. Egli ha intuito che due corpi di masse M, m, a distanza d, interagiscono con una certa forza F ed ha cercato la relazione esistente fra queste grandezze servendosi delle leggi di Keplero, dei principi della dinamica e del calcolo differenziale che lui stesso aveva scoperto. Poiché nella legge di gravitazione universale non compare il tempo, si è pensato che la forza di gravità si propaghi con velocità infinita. Questo significa che nella concezione comune la forza di gravità sia qualcosa che si propaghi istantaneamente da un corpo ad un altro. Di cosa si tratti, però, nessuno l’ha mai spiegato.

Ciò non poteva soddisfare Einstein perché, secondo la relatività speciale, nessuna interazione si può trasmettere con velocità maggiore della luce. La teoria della gravitazione di Einstein, ossia la RG, non è comunque, a sua volta, esente da critiche. Il principio d’equivalenza, nella sua forma debole (PE), nell’affermare che corpi di uguale massa inerziale hanno anche uguale massa gravitazionale, indipendentemente dalla loro costituzione fisica, chimica e forma geometrica, in ultima analisi ci dice che il peso di un corpo dipende dai suoi costituenti fondamentali, protoni, neutroni ed elettroni, ed è, in prima approssimazione, proporzionale al loro numero, ma non dipende dalla natura chimica ossia dai particolari elementi o composti chimici di cui è fatto il corpo. Ciò ci fa capire che per approfondire lo studio della forza di gravità dobbiamo osservare se e come essa agisce sulle particelle subatomiche. Nessuno, però, è riuscito mai ad effettuare esperimenti del genere, né potrà nel futuro. Se infatti, come sembra, esiste un’energia di punto zero, se lo spazio non è veramente vuoto, ma pullula di particelle virtuali, come le varie teorie quantistiche prevedono, allora il comportamento, per esempio, di un neutrone sarà influenzato e determinato dalle sue collisioni con particelle virtuali; ma ignorando il moto di queste, non possiamo analizzare sperimentalmente se e come la forza di gravità si esplica sul neutrone. Lo spazio-tempo che concepiva Einstein è vuoto e continuo. La RG è una teoria che, pur rivedendo dalle fondamenta la meccanica classica, è a sua volta una teoria classica, non quantistica, perché non prevede la “corpuscolarità” della materia e dell’energia. Essa parte dal presupposto classico che lo spazio, il tempo, i corpi ed i campi di forze siano continui, formati da punti senza soluzione di continuità.
Einstein non accettava, come sappiamo, il principio d’indeterminazione e quindi la possibilità di un moto casuale e probabilistico. Einstein, per quanto innovatore e rivoluzionario nelle sue concezioni scientifiche, era figlio del suo tempo e quindi influenzato dalle nuove idee e teorie del momento. In particolare, fu affascinato dal pensiero di Mach e dalle geometrie non euclidee. La geometria dello spazio-tempo dipende e si modifica con la distribuzione della massa-energia. E’ un’idea difficile da accettare: cosa è lo spazio-tempo da un punto di vista fisico? Come fa a deformarsi, curvarsi, dilatarsi nello spazio, proprio come fosse una sostanza eterea e nello stesso tempo materiale? Dopo aver decretato la morte dell’etere luminifero, come poteva Einstein proporne uno nuovo, anche se camuffato col nome di spazio-tempo, che si modifica con la presenza della materia?

Quello della continuità costituisce, in effetti, un grosso problema perché la materia e l’energia hanno una natura corpuscolare. La materia è costituita da svariate particelle e l’energia viene prodotta, viaggia ed è assorbita sotto forma di “pacchetti” discreti, i cosiddetti quanti.

I fisici descrivono operativamente come agisce la forza di gravità ma non conoscono il motivo per cui esiste. La matematica può descrivere la realtà, ma occorre un principio fisico logico per spiegarla.

La RG non spiega come si genera la curvatura dello spazio- tempo in presenza di massa ed energia e, di conseguenza, non spiega l’essenza della gravità; la RG è un modello matematico che non ci dice cosa sia la gravità ma solo che è una proprietà dello spazio-tempo in presenza di masse.

Qual è allora la ragione profonda per cui i corpi sembrano attrarsi o causano una curvatura nello spazio-tempo?

Come fanno due particelle, in base alla legge di Newton, ad influenzarsi a distanza senza l’intervento di un qualche agente tra di esse?

Lo stesso Newton sapeva che era impossibile, infatti scriveva: che un corpo possa esercitare un’azione su un altro a distanza attraverso il vuoto senza la mediazione di nient’altro mi appare una cosa di così grande assurdità che non credo esista persona, scientificamente competente, che possa crederci.

La stessa curvatura dello spazio-tempo, che è un concetto matematico, come fa a propagarsi nel vuoto tra due masse distanti? Occorrerebbe, in ogni caso, un mezzo intermediario che le connetta gravitazionalmente.

Devono necessariamente esistere particelle che generano la gravità e che interagiscano con la materia spingendo i corpi l’uno verso l’altro; queste entità devono essere esterne ai corpi e urtare le particelle materiali in modo anelastico dal momento che la forza gravitazionale non può essere schermata ed è solo attrattiva.

Il tentativo di quantizzare la RG è ancora in corso e sicuramente porterà ad una revisione dei concetti fondamentali della fisica ed alla formulazione di una nuova teoria. Finché si tiene separato il microcosmo dal macrocosmo la RG e la MQ funzionano abbastanza bene. Nel descrivere l’universo, le dimensioni in gioco sono talmente grandi che la natura quantistica della realtà è del tutto trascurabile. Oggi, però, sappiamo che anche le strutture cosmiche sono formate da particelle e quindi non possiamo applicare solo la RG o solo la MQ. Occorre una teoria più generale che sappia descrivere contemporaneamente il microcosmo ed il macrocosmo.

Ritornando al principio di equivalenza, anche il buon senso ci induce a credere che i corpi non possono avere due diversi tipi di masse: massa inerziale e massa gravitazionale devono essere due aspetti di una stessa entità fisica. Se dal punto di vista concettuale sembrano diverse, molto probabilmente ciò è dovuto alla nostra ignoranza, nel senso che non sappiamo in cosa consistano essenzialmente l’inerzia e la gravità. Però, pur considerandole equivalenti, come vuole il PE, ciò non significa che corpi di massa diversa debbano essere soggetti alla stessa accelerazione di gravità. La stessa legge di Newton F = GMm/d 2 non implica, come vedremo, che corpi di massa diversa cadano con uguale accelerazione. La legge di Newton non poggia su alcun fondamento teorico e non è del tutto esatta anche se è valida con ottima approssimazione in campi gravitazionali non particolarmente intensi.

Che il principio di equivalenza non convinca più alcuni scienziati è deducibile dal fatto che, nonostante l’accuratezza delle misure dei vari esperimenti, sono stati previsti lanci di diversi satelliti artificiali come STEP, MICROSCOPE e GALILEO GALILEI allo scopo di poter osservare una differenza percentuale fra massa inerziale e massa gravitazionale con un errore dell’ordine di 10 -18. Il desiderio nascosto è di rivelare tale piccola differenza perché le nuove teorie quantistiche di stringa, che cercano di inquadrare la gravità in un contesto unitario con le altre forze fondamentali, prevedono una violazione del PE. Anche se si riuscisse a determinare la differenza percentuale tra le due masse con un errore molto più piccolo di 10 -18 non potremmo concludere che esse sono veramente uguali.

Come sappiamo il PE nasce con la convinzione di Galilei che corpi di massa diversa, lasciati cadere da uguale altezza, arrivino al suolo contemporaneamente. Mentre Galilei non disponeva di alcuna teoria per sostenere le sue convinzioni, né poteva, nei suoi esperimenti, effettuare misure abbastanza precise per mancanza di adeguati strumenti tecnologici, Newton, invece, ha il torto di avere accettato i risultati poco affidabili degli esperimenti di Galilei piuttosto che trarre le giuste conclusioni dalla sua stessa teoria. L’errore di Einstein, invece, è stato non solo quello di generalizzare il PE debole, già di per sé non rigorosamente vero, come vedremo, nel principio di equivalenza forte (PEF) tra campo gravitazionale e sistema accelerato, ma anche nel credere che la materia possa curvare lo spazio-tempo. Molti esperti di gravitazione inconsciamente hanno continuato a commettere l’errore di Newton accettando, praticamente senza riserve, che corpi di massa diversa cadono con uguale accelerazione e quindi che fosse rigorosamente valido il principio di equivalenza di Galilei. E’ vero che nessun esperimento è mai riuscito ad evidenziare alcuna differenza temporale nella caduta di corpi di massa diversa a causa del breve percorso degli stessi, e del piccolo valore della massa dei corpi rispetto alla massa della Terra, ma quando consideriamo il moto di rivoluzione di un pianeta, che in sostanza è una caduta continua sul Sole, allora abbiamo tutto il tempo che occorre per osservare il fenomeno e renderci conto se il PE è vero o falso.

Con l’introduzione del concetto di campo si sostiene che un corpo di massa M effettivamente produca attorno a sé una variazione dello spazio fisico. Ma cosa dobbiamo intendere per spazio fisico? Con il concetto di campo si sminuisce, in qualche modo, il concetto d’interazione tra due corpi perché l’intensità del campo g in un punto dipende solo dalla massa M del pianeta e dalla distanza d dal suo centro.

 

E’ più importante il concetto di campo generato da un corpo o il concetto di interazione tra due corpi? Non dimentichiamo che quando Newton ha scoperto l’interazione gravitazionale tra due corpi non esisteva ancora il concetto di campo. In ogni caso il campo gravitazionale è solo uno strumento matematico per semplificare i calcoli oppure è effettivamente una entità fisica? Facendo riferimento al campo gravitazionale newtoniano definito da g = GM/d 2 si vede che è indipendente da un eventuale corpo di prova. In tale accezione g è l’intensità del campo valutato dal sistema di riferimento centrale la cui origine è il centro di massa dell’astro; né ha senso considerare un riferimento baricentrico in assenza di un secondo corpo. Quando il corpo di massa m è soggetto alla forza di gravità e calcoliamo questa forza applicando la relazione f = ma = GMm/d 2, commettiamo un errore. Infatti mentre f = ma è valida solo in un riferimento inerziale, per esempio in quello che ha l’origine nel baricentro dei due corpi, invece il valore g = GM/d 2 del campo gravitazionale è relativo al sistema centrale. Bisogna modificare qualcosa affinché i conti tornino. Tra l’altro anche il corpo di massa m genera il suo campo gravitazionale che si somma, in qualche modo, a quello preesistente dell’astro; i due corpi vanno considerati allo stesso modo anche se spesso uno è molto più massiccio dell’altro. La presenza del corpo fa si che il sistema centrale non sia più inerziale; il riferimento inerziale, rispetto al quale valutare l’accelerazione cui è soggetto lo stesso corpo, ora è quello baricentrico. In linea di principio il campo g generato da M e l’accelerazione a del corpo non sono la stessa cosa. Ritorneremo su queste riflessioni.

Poiché nella legge di Newton non compare il tempo si è pensato che la forza di gravità si propaghi con velocità infinita. Però la mancanza del tempo può essere un indizio per capire che l’interazione gravitazionale tra due corpi può essere dovuta ad una variazione di stato di un’entità fisica, non geometrica, che esiste nello spazio indipendentemente dalla presenza dei corpi stessi. Poiché non ha senso parlare di distorsione, curvatura o modifica di uno spazio completamente vuoto, si deve dedurre che lo spazio non può essere vuoto ma permeato di qualche sostanza il cui stato si modifica in prossimità di un astro generando la forza di gravità. L’idea non deve essere considerata stramba dal momento che la stessa meccanica quantistica prevede che lo spazio, che consideriamo vuoto, non è veramente tale.

La legge di Newton si applica a due corpi dotati di massa e pertanto non spiega e non può prevedere il giusto valore della deflessione della luce che passa vicino al Sole, né il red shift gravitazionale.

Ma nonostante tutto, non si può disconoscere il successo della teoria di Newton, almeno nel sistema solare. Essa riesce a descrivere con precisione incredibile le orbite dei pianeti e dei satelliti, a prevedere le eclissi ed il ritorno puntuale delle comete; grazie ad essa sono stati scoperti i pianeti Nettuno e Plutone. La utilizziamo per inviare satelliti nello spazio e l’uomo sulla Luna.

Inoltre la teoria di Newton, contrariamente alla RG, non prevede l’esistenza delle onde gravitazionali, ma questo è un problema di cui ancora si discute anche se si crede di averle osservate.

Qualunque teoria aspiri a spiegare la forza gravitazionale, oltre ad essere coerente, deve prevedere i vari fenomeni citati, spiegare l’inerzia dei corpi, ridursi alla legge di Newton nel caso particolare di un campo debole come quello del sistema solare, essere compatibile con la meccanica quantistica, prevedere l’energia oscura e spiegare la presunta materia oscura.

Cos’è un campo gravitazionale? In che cosa si differenzia, dal punto di vista fisico, uno spazio sede di un campo gravitazionale da uno spazio in cui non esiste alcun campo? E’ possibile rivelare un campo gravitazionale senza un corpo di prova? Come fa un astro di massa M a modificare lo spazio? Cosa significa che lo spazio vuoto si deforma? Un secondo corpo di massa m in che modo avverte la variazione dello spazio prodotta da M? Due corpi interagiscono scambiandosi i presunti gravitoni, o risentono della ipotetica deformazione dello spazio? Qual è la vera causa della forza gravitazionale?

Il campo gravitazionale, al crescere della massa dell’astro, può assumere valori comunque grandi oppure esiste un valore massimo non superabile e magari insufficiente affinché una stella collassi in un buco nero? La costante di gravitazione G è veramente costante o varia nel tempo? Esiste un valore minimo per l’intensità di un campo gravitazionale? Ha senso parlare di campo gravitazionale generato da una particella atomica o subatomica? Come si muove una particella in un campo gravitazionale? La sua traiettoria è una linea regolare o a zigzag? Cercheremo di rispondere a queste domande.

Einstein nega che la massa abbia la proprietà di generare attorno a sé un campo gravitazionale e crede di aggirare l’ostacolo affermando che la massa-energia ha, invece, la proprietà di curvare lo spazio-tempo. Si crede che con la RG si possano spiegare vari fenomeni non interpretabili con la legge di Newton, specialmente quando si considerano masse molto grandi o molto concentrate. Come può lo spazio-tempo curvarsi? Se non riusciamo a rappresentarci lo spazio a quattro dimensioni, a maggior ragione non possiamo immaginarci una sua distorsione. Che cosa dobbiamo intendere, da un punto di vista fisico, per spazio-tempo? Non essendo né massa né energia forse non è una entità fisica ma solo un concetto matematico. Spazio e tempo non sono grandezze osservabili.

Come può espandersi lo spazio vuoto intergalattico? Come fa lo spazio-tempo ad avvertire la presenza di una massa e quindi a “capire” che si deve curvare? Qual è il messaggio inviato dalla materia allo spazio-tempo? Come si trasmette? E con quale velocità? Quale messaggio ricevono i corpi dallo spazio-tempo? E le varie curvature dello spazio-tempo generate da più masse come si sommano? La RG, come tutte le teorie metriche della gravitazione, non spiega perché attualmente l’universo si espande quando invece, in base alla stessa RG, potrebbe contrarsi; non spiega perché la forza gravitazionale è attrattiva e non repulsiva e tanto meno perché, contrariamente alla forza elettromagnetica, non può essere schermata. La RG prevede che la velocità d’espansione dell’universo diminuisca col tempo indipendentemente dal fatto che esso sia chiuso o aperto; sappiamo, invece, che gli ammassi e i superammassi di galassie si allontanano l’uno dall’altro accelerando.

Il destino dell’universo, secondo la RG, dipende soltanto dalla quantità di materia in esso contenuta.

Le singolarità matematiche che s’incontrano nelle soluzioni delle equazioni di campo einsteiniane non sono fisicamente accettabili e portano a paradossi insormontabili.

Per Einstein la forza di gravità, che si può interpretare come curvatura della geometria dello spazio-tempo, non è una vera forza. L’idea che forza gravitazionale e forza inerziale siano equivalenti e quindi che, a livello locale, non siano distinguibili, non è corretta, come vedremo.

La RG non è conciliabile in alcun modo con la fisica quantistica e questo è l’aspetto che più disorienta i fisici. Per lo studio della cosmologia occorre una teoria quantistica della gravitazione; ma le due teorie non sono fra loro compatibili.

Sono stati inutili i vari tentativi di quantizzare la forza gravitazionale e di inquadrare la gravità in una teoria unitaria. Così si esprime il grande fisico Feynman sulle teorie quantistiche della gravità: Non vi è modo di sottoporre a verifica sperimentale le teorie quantistiche della gravità. La migliore di queste teorie non è in grado di inquadrare le particelle effettivamente conosciute, mentre prevede l’esistenza di un gran numero di particelle non osservate. Nelle teorie quantistiche della gravitazione compaiono degli infiniti quando si considerano termini con interazioni, ma il procedimento assurdo che permetteva di liberarsi dagli infiniti in elettrodinamica quantistica non funziona per la gravità quantistica. Dunque non solo non ci sono dati sperimentali con cui raffrontare una teoria quantistica della gravitazione, ma non ci sono neppure teorie accettabili. In tutta questa storia vi è un aspetto particolarmente insoddisfacente: i valori osservati delle masse delle particelle. Non vi è nessuna teoria che li spieghi adeguatamente; li si usa di continuo nei conti ma non si ha la minima idea di che cosa siano e da dove vengano.

Se la forza gravitazionale fosse una forza fondamentale della natura e l’interazione fosse mediata dal presunto gravitone, la particella postulata dalla teoria quantistica dei campi per spiegare la forza di gravità, allora due corpi che si attraggono si scambierebbero continuamente gravitoni. Poiché ogni particella possiede energia e quindi massa, in base all’equazione E = mc 2, i gravitoni dovrebbero interagire anch’essi, e quindi scambiarsi nuovi gravitoni. Ciò comporta che ogni gravitone dovrebbe generare altri gravitoni secondo un processo infinito e quindi assurdo. Secondo la RG la gravità gravita, cioè l’energia gravitazionale genera nuova gravità e questa ne genera ancora altra e cosi via a causa dell’equivalenza fra massa ed energia.

Probabilmente la forza di gravità non è una forza fondamentale come lo sono quella elettromagnetica, la nucleare forte e la nucleare debole, nel senso che nonostante la sua importanza nella struttura ed evoluzione dell’universo, essa non può essere inserita in una teoria unificata di tutte le forze. D’altra parte è almeno strano il fatto che mentre le forze elettriche e magnetiche possono essere sia attrattive che repulsive, la forza gravitazionale sembra essere solo attrattiva.

Alcune soluzioni delle equazioni della RG, in verità, non convincevano neppure lo stesso Einstein. Egli non era soddisfatto dei risultati raggiunti: La teoria della relatività generale fornì una teoria di campo della gravitazione, ma non una teoria delle masse che generano il campo. Queste osservazioni presuppongono, come cosa di per sé evidente, che una teoria di campo non possa contenere singolarità, cioè posizioni o parti di spazio in cui le leggi di campo non siano valide. Per conseguenza, a rigor di termini, oggi non esiste nulla di simile a una teoria di campo classica; e ad essa, quindi, non si può aderire rigidamente.

Ormai è assodato che nessun tipo di forza si trasmette in modo istantaneo. I corpi interagiscono tramite un campo di forze, una sorta di modifica dello spazio fisico che circonda i corpi. Un corpo non deve aspettare qualche misterioso messaggio da parte di un pianeta per essere sollecitato dalla forza gravitazionale, semplicemente reagisce al campo di forze esistente prelevando una parte dell’energia gravitazionale che circonda l’astro. Ma cos’è più precisamente questa energia associata ai vari tipi di campi? In base alle teorie quantistiche di campo ad ogni particella è associata un’onda o meglio una nube di particelle, i cosiddetti bosoni virtuali. Come una carica elettrica è avvolta da una nube di fotoni virtuali così, si pensa, un qualsiasi corpo è avvolto da una nube di gravitoni. La forza di interazione fra due fermioni è generata dallo scambio di bosoni. Ma mentre si sa con certezza dell’esistenza di fotoni, mesoni e bosoni vettoriali, i gravitoni sono soltanto un’ipotesi non confermata nel tentativo di quantizzare la gravità. Quindi l’energia gravitazionale è ancora un mistero per gli scienziati. Il problema della formulazione di una teoria quantistica della gravitazione è uno dei problemi centrali della fisica teorica contemporanea. La gravità quantistica è il desiderio dei fisicidi unificare la MQ, che si occupa del mondo subatomico e subnucleare, e descrive la forza elettromagnetica, debole e forte, con la RG, che descrive la gravità applicata alle grandi masse ma in termini non quantistici.

La RG, come abbiamo visto, descrive il campo gravitazionale in termini geometrici ma non fornisce informazioni sui gravitoni, le ipotetiche particelle che dovrebbero mediare la forza di gravità.

La differenza fondamentale fra queste due teorie consiste nel fatto che la meccanica quantistica dipende dai campi delle particelle dello spazio-tempo piatto della relatività speciale, mentre la RG descrive la gravità come una curvatura intrinseca dello spazio-tempo generata dalla massa. Cercare di spiegare la gravità in termini di campo di particella porta al problema detto della rinormalizzazione. I gravitoni, con le loro interazioni, portano a certi valori infiniti e quindi assurdi. Invece, nell’elettrodinamica quantistica, anche se le interazioni a volte esprimono risultati numericamente infiniti, questi possono essere rimossi per mezzo della rinormalizzazione. Non si dispone di dati sperimentali che indichino come le due teorie possano combinarsi; le varie teorie della gravità quantistica non hanno ottenuto conferme sperimentali dirette e quindi devono essere considerate semplici ipotesi. La RG non si concilia con i principi della MQ e quindi non può descrivere i processi fisici che succedono a scale molto ridotte o in tempi molto brevi. Come si spiega l’insuccesso della gravità quantistica? Alcuni fisici hanno pensato che forse l’interpretazione geometrica della RG non sia essenziale. È la MQ o la RG che deve essere riveduta? O entrambe? Non dimentichiamo che la meccanica quantistica, con le sue equazioni, è in perfetto accordo con i fatti sperimentali del mondo subatomico, ma perché funziona è un mistero. E’ difficile credere che gli elettroni possano fluttuare o saltellare in modo casuale da un punto ad un altro “per capriccio” o, in ogni caso, senza una causa. Occorre una causa per questi comportamenti apparentemente strani. Il decadimento di un nucleo o l’emissione di un fotone non possono essere fenomeni che “semplicemente accadono” senza una causa esterna; non si può concepire un mondo senza il principio di causa-effetto. Occorre qualche ipotesi aggiuntiva, nella meccanica quantistica, che spieghi il principio d’indeterminazione, la creazione delle particelle virtuali, l’effetto tunnel ed altri fenomeni apparentemente strani. Un sistema instabile nel vero vuoto non ha senso, non può esistere. Un sistema è instabile quando un minimo impulso o energia esterna modifica il suo stato. Dire che lo stato di un sistema microscopico non è definibile, non significa che una sua variazione avviene senza un’opportuna causa. Il principio di causa-effetto e di conservazione dell’energia non possono essere ignorati nemmeno nella fisica del microcosmo.

Nella RG non esiste uno sfondo spazio-temporale fisso come nella meccanica newtoniana e nella relatività speciale; la geometria dello spazio-tempo è dinamica. Invece la MQ possiede una struttura di fondo non dinamica.

La RG predice il suo stesso collasso in singolarità e la meccanica quantistica diviene priva di senso nelle vicinanze delle singolarità. Non si capisce cosa si dovrebbe intendere per campo gravitazionale di una particella e come determinarlo perché, in base al principio d’indeterminazione della meccanica quantistica, non è possibile conoscere con certezza la sua posizione nello spazio e la sua velocità. Ma è proprio vero che una particella genera un campo gravitazionale? Non potrebbe trattarsi di un pregiudizio derivante dalla familiarità con la meccanica classica di Newton? Nulla permette di concludere che le particelle subatomiche subiscano gli effetti della gravitazione universale, che potrebbe essere un effetto che nasce con una certa complessità di struttura. In effetti, come vedremo, una particella molto piccola non genera un campo gravitazionale. Il campo gravitazionale si definisce ed acquista consistenza soltanto per un corpo costituito da un numero enorme di particelle.


Sul principio di equivalenza  

In fisica i valori della massa inerziale e della massa gravitazionale di un qualsiasi corpo sono considerati proporzionali, e quindi uguali se si scelgono opportunamente le unità di misura. Per Newton quest’uguaglianza è casuale, un incidente della naturain quanto le due masse sono concettualmente distinte.

Spesso si confonde l’accelerazione con cui cade un corpo sulla Terra con il campo gravitazionale terrestre. Infatti, con ovvio significato dei simboli, entrambe le grandezze vengono indicate con

g = GM/d^2. (g) Se l’espressione della legge di Newton è corretta solo in un riferimento inerziale (RI) e si sostiene che sulla Terra l’espressione dell’accelerazione di gravità è (g) dobbiamo concludere che la Terra è un RI? Sappiamo che il riferimento baricentrico, ancorato al centro di massa corpo-Terra, è un RI. Allora in quale sistema è corretta l’espressione (g)? In quello centrale, in quello baricentrico o entrambi?

Se nel caso della caduta di piccoli gravi la differenza fra i due sistemi di riferimento, quello baricentrico e quello terrestre, è minima, essa non lo è più nel caso del moto dei pianeti attorno al Sole (o della Luna attorno alla Terra), caso per il quale, come l’esperienza insegna, gli effetti sono rilevabili.

Dalla teoria gravitazionale di Newton si deduce, come vedremo, che l’accelerazione con cui cade un corpo extraterrestre di massa m, rispetto ad un riferimento solidale alla Terra, non è indipendente da m. Ciò comporta che il principio di equivalenza debole non è rigorosamente vero e pertanto non dovrebbe essere possibile ricondurre la gravitazione a geometria, come presume la RG. Per osservare la forza di gravità occorrono due corpi, anche se uno molto più piccolo dell’altro, per cui l’espressione dell’accelerazione relativa dell’uno rispetto all’altro deve essere simmetrica rispetto alle due masse M e m. Se, per esempio, a è l’accelerazione del moto orbitale della Terra rispetto al Sole, per la relatività del moto anche l’accelerazione del Sole rispetto alla Terra deve valere a; pertanto nell’espressione di a non può comparire soltanto la massa del Sole o soltanto la massa della Terra, ma entrambe, e in forma simmetrica. Lo stesso discorso vale per tutte le grandezze cinematiche come la velocità relativa, il periodo, l’orbita.

L’uso e l’abuso di termini quali massa inerziale e massa gravitazionale, massa gravitazionale attiva e massa gravitazionale passiva confondono le idee e non fanno cogliere la vera natura della gravitazione. Non esiste la massa gravitazionale passiva senza quella attiva, e viceversa. La distinzione può anche essere comoda da un punto di vista pratico se una delle due masse è molto più piccola dell’altra, ma in realtà è concettualmente errata. Le due masse sono entrambe attive. Einstein comprende che l’uguaglianza tra massa inerziale e massa gravitazionale non è casuale e propone che le due masse siano la stessa cosa per principio, non per caso. Per lui la stessa qualità di un corpo si manifesta a seconda delle circostanze come inerzia o come pesantezza anche se non precisa adeguatamente quali sono tali circostanze.

Secondo la meccanica classica l’inerzia è considerata una proprietà intrinseca della materia, il peso, invece, dipende dalla gravità.

Consideriamo un astro di massa M e un corpo di massa m a distanza d dal centro dell’astro. Il valore dell’accelerazione di gravità g cui è soggetto il corpo in prossimità dell’astro, come si è detto, è corretto solo in un RI, per esempio in quello ancorato al centro di massa O dei due corpi. Se m << M il punto O coincide, in pratica, col centro dell’astro che si può, in tal caso, considerare l’origine di un RI. Ma, a voler essere precisi, l’accelerazione con cui cade il corpo rispetto ad un osservatore solidale all’astro, è data da

g = G(M+m)/d^2. (gm)

Tenendo presenti che le distanze X, x di M, m dal loro centro di massa O sono, rispettivamente

 

X = md/(M+m) ; x = Md/(M+m), (1)

 

l’espressione dell’accelerazione centripeta è v^2/r, e le accelerazioni di M e di m rispetto ad O sono

A = Gm/d^2; a = GM/d^2

 

consegue che per le velocità V e v dei due corpi, sempre rispetto al riferimento inerziale ancorato ad O, valgono le relazioni

V^2 = GmX/d^2 ; v^2 = GMx/d^2

e quindi, per le (1),

V = √[Gm^2/d(M + m)] v = √[GM^2/d(M + m)]

Un osservatore (non inerziale) solidale a uno dei corpi attribuisce all’altro la velocità relativa

 

vr = V+ v =√[G(M+m)/d] (3)

e l’accelerazione relativa

ar = A + a = G(M+m)/d^2 (4)

 

Se m ≠ M accelerazioni e velocità relative sono uguali, invece velocità ed accelerazioni assolute sono diverse. La differenza di accelerazione con cui cadono sulla Terra due corpi extraterrestri di massa diversa è talmente piccola che non riusciamo ad evidenziarla sperimentalmente. Ma se invece di un corpo che cade sulla Terra consideriamo un pianeta che orbita attorno al Sole, e quindi possiamo osservare il fenomeno per un tempo molto lungo, l’effetto della diversa accelerazione non è più trascurabile. Per questo stesso motivo la terza legge di Keplero

d^3/T^2 = GM/4π^2

non è proprio corretta dal momento che il Sole non è un perfetto riferimento inerziale. Infatti, essendo per la (4)

G(M+m)/d^2 = 4π^2d/T^2,

il rapporto fra il cubo dell’asse maggiore ed il quadrato del periodo di rivoluzione, dipende dalla massa m del singolo pianeta

d^3/T^2 = G(M + m)/4π^2

da cui

T = 2π √[d^3/G(M + m)] (5)

Utilizzando la (4), e quindi la legge della gravitazione di Newton, si spiega, come vedremo tra poco, l’ammontare secolare della precessione del pianeta Mercurio. Quanto detto finora non è una novità, è semplicemente il problema dei due corpi, ma spesso, come ho constatato personalmente, molti rimangono perplessi di fronte alla formula g = G(M + m)/d^2 ritenendola sbagliata.

Galilei sosteneva che due corpi che cadono dalla stessa altezza toccano il suolo contemporaneamente; di ciò era convinto anche Newton nonostante proprio la sua legge, come abbiamo visto, preveda che debbano cadere con accelerazioni diverse e quindi impiegare tempi diversi per arrivare al suolo. Lo stesso Einstein credeva che tutti i corpi, qualunque fosse la loro massa, se lasciati cadere da uguale altezza toccassero il suolo nello stesso istante. Questo comportamento dei corpi in un campo gravitazionale fu assunto come principio: il cosiddetto principio di equivalenza debole. In effetti le convinzioni di Galilei, Newton e Einstein sono compatibili con l’esperienza di tutti i giorni e sono corrette se i corpi sono terrestri. Corpi aventi uguale peso, e quindi uguale massa gravitazionale, hanno anche uguale massa inerziale, ma ciò non comporta, in base alla (4), che corpi aventi massa diversa siano soggetti ad uguale accelerazione. Bisogna distinguere il caso di corpi terrestri dal caso di corpi extraterrestri. In base alla legge di Newton l’accelerazione con cui cade un corpo, che sia stato sollevato fino ad una certa altezza dalla superficie terrestre, per esempio un satellite artificiale, non dipende dalla sua massa m. Infatti ora la massa del pianeta non è più M ma M - m. Sostituendo nella (4) M-m al posto di M si ottiene g = GM/d^2 indipendente dalla massa del corpo. Quindi i corpi terrestri, anche se di massa diversa, fatti cadere uno alla volta, sono soggetti alla stessa accelerazione, la cui espressione rappresenta anche il campo gravitazionale. Ciò non è più vero se si considera il moto della Luna rispetto alla Terra, o il moto di un pianeta rispetto al Sole. In generale gli astronomi nel determinare l’orbita dei pianeti minori trascurano la loro massa m perché la ritengono insignificante rispetto all’enorme massa M del Sole. In tal caso, per effetto della gravità solare, i pianeti descriverebbero eternamente la stessa ellisse, ma l’influenza degli altri pianeti fa sì che questa ellisse ruoti gradualmente attorno al centro di massa. Il primo a commettere questo errore fu Urbain Le Verrier che nel 1859 scoprì la precessione del perielio di Mercurio: pur considerando gli effetti degli altri pianeti risultava che l’orbita di Mercurio ruotava più velocemente di quanto previsto dalla teoria della gravità di Newton e precisamente di 43” per secolo. Sono state proposte diverse spiegazioni come la polvere interplanetaria, un eventuale schiacciamento polare inosservato del Sole, un ipotetico satellite di Mercurio, la presenza di un nuovo pianeta. L’astronomo Hall propose addirittura di correggere la legge della gravitazione di Newton sostituendo l’esponente 2 con 0,0000002. I relativisti credono di aver risolto definitivamente il problema con la RG ma si sbagliano perché le equazioni di campo, basandosi sul principio di equivalenza, non prendono in considerazione la massa del pianeta Mercurio. Infatti in RG, come in meccanica classica, si suppone che il Sole sia fisso nello spazio e inoltre che, essendo il corpo più pesante del sistema solare, da solo contribuisca alla curvatura dello spazio-tempo. Questo spazio-tempo curvo è descritto dalla soluzione di Schwarzschild per le equazioni di Einstein nel vuoto. Il corpo più leggero (il pianeta Mercurio) viene assimilato a un punto privo di massa e il suo moto è definito per mezzo delle geodetiche dello spazio-tempo. Si crede che queste soluzioni geodetiche giustifichino l’entità della precessione anomala del pianeta Mercurio , e quindi costituiscano la prova principale a sostegno della teoria della RG. In base ai calcoli fatti con la RG l’entità della precessione del perielio di un pianeta di massa m, nel tempo T di una rivoluzione, è

Δφ = 6πMG/[c^2(1- ε^2)a]

dove ε è l’eccentricità, a il semiasse maggiore dell’orbita, M la massa del Sole. Come si vede, in essa non compare la massa m del pianeta. Vediamo ora, invece, come la teoria di Newton con semplici calcoli spiega la precessione del perielio di Mercurio. Sostituendo nella (3) i valori della massa del Sole M = 1.9890∙10^33 grammi, di Mercurio m = 3.2850∙10^26 grammi, e della loro distanza d = 5.791∙10^12 centimetri, otteniamo per la velocità di Mercurio

V1 = 4.786.340,179 cm/sec.

Assumendo, invece, m = 0 otteniamo

V2 = 4.786.339,784 cm/sec

e quindi una differenza di velocità V1-V2 = 0,394 cm/sec che, in cento anni, comporta un arco s dell’orbita di Mercurio pari a s = 12.433.353,98 m.

Consegue che l’angolo in radianti al centro del Sole, corrispondente a tale arco, vale

a = s/d =12.433.353,98/5.791·10^10 = 0.000214 rad ossia a = 44 ”

In queste sintetiche considerazioni ho supposto circolare l’orbita di Mercurio, ma ciò non incide sul risultato finale. In generale, essendo

Δ V = √[G(M+m)/d] -√(GM/d)

nel tempo T di una rivoluzione, dato da (5), si ha un angolo al centro del Sole

a ( Trad) = s/d = Δ V·T/d = 2π [1 - √(1- m/(M+m)]

Sviluppando il radicale in serie di potenze, essendo m/(M+m)^2 molto piccolo, si ha

che l’angolo di precessione del generico pianeta, di massa m, in un tempo uguale al suo periodo di rivoluzione T, è dato da

a (rad,T) ≈ π ·m/(M + m) ≈ π ·m/M

che, come si vede, dipende anche dalla massa m del pianeta. Dividendo a (rad,T) per il periodo T del pianeta, espresso in giorni, e moltiplicando per 36500 giorni, si trova di quanto avanza il perielio del pianeta in un secolo.

Poiché l’interazione gravitazionale si esplica tra due corpi senza privilegiare nessuno dei due, anche se uno è molto più piccolo dell’altro, consegue che qualcosa non va nella RG. L’entità della precessione non è indipendente dalla massa del pianeta. Ovviamente ci sono altre motivazioni per ritenere non del tutto corretta la RG. La situazione si è ribaltata: l’entità della precessione di Mercurio, che è stata considerata la prima e principale conferma della RG, ora diventa un boomerang nei confronti della stessa teoria.

Dalle considerazioni fatte segue che il campo gravitazionale della Terra, definito solitamente dal rapporto g = F/m = GM/d^2 tra la forza gravitazionale F agente su un corpo e la massa m di quest’ultimo, non coincide esattamente con l’accelerazione con cui cade sulla Terra un corpo C extraterrestre, perché questa, come si è visto, essendo a = G(M+m)/d^2, dipende anche da m. In un punto P il campo gravitazionale g della Terra dipende, ovviamente, solo dalla sua massa e dalla distanza di P dal suo centro. Quindi l’espressione g = GM/d^2 rappresenta il campo gravitazionale della Terra e l’accelerazione con cui cade un corpo solo se questo fa parte della Terra; ma, in base alla legge di Newton, l’espressione corretta dell’accelerazione con cui cade un corpo esterno rispetto ad un osservatore terrestre è a = G(M + m)/d^2. Con la presenza del corpo esterno C il campo in P non è più lo stesso. Poiché C è soggetto ad un’accelerazione, ad esso deve essere applicata una forza, quella di interazione tra i due corpi, e tale forza dipende anche dalla massa m di C. Gli attori sono, in generale, almeno due e ognuno crea il suo campo gravitazionale che non è indipendente dal campo generato dall’altro. Con la nuova teoria della gravità si trova, per esempio, che il campo gravitazionale sul satellite Io di Giove, sarebbe maggiore in assenza del pianeta e ancora maggiore in assenza del Sole. Quindi il campo gravitazionale generato da più corpi in un punto non è uguale alla somma dei campi generati dai singoli corpi, ma minore. Le due masse hanno uguale diritto a comparire entrambe, e in forma simmetrica, nelle formule e nelle equazioni che riguardano la forza di gravità. Entro i limiti degli errori sperimentali sappiamo che l’inerzia e il peso dei corpi sono proporzionali alla loro massa intesa, intuitivamente, come misura della quantità di materia in essi contenuta. Possiamo allora misurare la massa utilizzando indifferentemente l’inerzia o il peso dei corpi. Se non esistessero né l’inerzia né la gravità non avremmo alcun modo per misurare la massa. Ma in tal caso non esisterebbero i corpi, gli astri e quindi neppure noi stessi. Massa gravitazionale m g e massa inerziale m i sono i due modi in cui si manifesta la massa, a seconda che essa sia soggetta ad una forza gravitazionale o ad una forza di natura diversa. Sono molte le analogie tra forza inerziale e forza gravitazionale ma esse, pur avendo la stessa origine, non sono del tutto equivalenti perché si possono distinguere con opportune osservazioni. Mentre la forza gravitazionale accelera sempre un corpo libero di muoversi e agisce contemporaneamente e uniformemente su ogni suo elemento, le altre forze reali sono applicate solo in alcuni punti del corpo per cui, quando non riescono a coinvolgere tutta la sua massa, esplicano la loro azione deformandolo e riscaldandolo.

Le forze apparenti, che secondo l’osservatore solidale al sistema non inerziale S, sembrano agire sui corpi non fissati ad S, le cosiddette forze di trascinamento, per un osservatore inerziale non sono forze reali, non hanno un punto di applicazione, non deformano o riscaldano i corpi, non compiono lavoro e inoltre per esse non valgono i principi della dinamica. Queste forze si manifestano solo per l’osservatore non inerziale in quanto egli, abituato a vivere sulla Terra, che si può considerare un riferimento inerziale, applica in modo non corretto il secondo principio della dinamica dal momento che sostiene che se un corpo dotato di massa accelera allora deve essere soggetto ad una forza. Comunque grande sia la massa m del corpo che sembra muoversi con accelerazione a rispetto al sistema non inerziale S, l’osservatore solidale ad S pensa che il corpo sia soggetto alla forza f = ma. Ma si sbaglia perché, non essendo il suo un sistema inerziale, per lui non sono validi i principi della dinamica. La forza, che l’osservatore effettivamente misura in S con un dinamometro, è una forza statica reale f ', diversa da f, ed è applicata in un particolare punto del corpo. Il corpo che prima accelerava rispetto ad S, ora è fissato ad S con la conseguenza che il sistema ha un’accelerazione diversa perché la sua massa è cambiata ma la forza ad esso applicata è rimasta la stessa. I vari oggetti fissati ad S hanno uguale accelerazione rispetto ad un riferimento inerziale (RI), però sono fermi rispetto ad S; analogamente i corpi liberi non soggetti a forze reali, rispetto ad S hanno tutti l’accelerazione del sistema, cambiata di segno, ma si muovono di moto rettilineo uniforme (MRU) rispetto al RI. Entrambe le forze, quella inerziale apparente e quella gravitazionale, non hanno un particolare punto di applicazione ma ciò non è sufficiente per concludere che esse siano equivalenti. Più precisamente la forza gravitazionale agisce su tutti i punti del corpo mentre quella apparente su nessuno; inoltre la forza gravitazionale, al contrario di quella inerziale, genera forze mareali. L’accelerazione di un corpo, se non prendiamo in considerazione la forza applicata, è un ente matematico, una grandezza cinematica, e quindi relativa. Se la distanza che separa due sistemi (corpi) in moto S 1 ed S 2, lontani da astri, è funzione non lineare del tempo allora i due sistemi sono accelerati l’uno rispetto all’altro e almeno uno di essi è soggetto a una forza reale. Se, per esempio, il sistema S 2 non è soggetto a forze, come possiamo notare con un accelerometro, diremo che non accelera in senso assoluto ma soltanto rispetto ad S 1. Per tale ragione S 2 può essere scelto come RI. Le forze inerziali si avvertono solo in S 1, non in S 2. L’accelerazione di S 1 è assoluta, indipendente dall’eventuale presenza di oggetti esterni. Anche il moto rotatorio è un moto assoluto. L’osservatore fissato ad S, che per semplicità chiameremo ancora S, ignorando l’origine delle forze inerziali, le ritiene misteriose. Ovviamente per un osservatore inerziale tali forze non esistono e infatti le chiama apparenti o fittizie. Cosa può fare S, all’interno del suo sistema, per capire se le forze, che crede di osservare, sono reali o di origine inerziale? Se applica il principio copernicano non può pretendere che il suo sistema sia l’unico RI mentre tutti gli altri oggetti dell’universo si muovano rispetto a lui, con la stessa accelerazione, e quindi siano tutti soggetti a forze proporzionali alle rispettive masse. Oltre al fatto che per corpi di grande massa la relazione f = ma nonè corretta, dette forze sarebbero in effetti inspiegabili e misteriose. Mediante un dinamometro, fissato in un estremo al sistema e all’altro ad una sferetta libera da ulteriori vincoli, l’osservatore può rendersi conto, in base all’allungamento della molla, che alla sferetta è applicata una forza; ora la sferetta, essendo fissata al sistema, non accelera rispetto ad esso; le condizioni fisiche sono cambiate, per cui l’osservatore, se non trascura questo importante particolare, si rende conto che quella che misura è una forza reale e inoltre che, probabilmente, è il suo sistema che accelera per effetto di una forza f applicata ad esso. Una frazione di f agisce sulla sferetta che ora, essendo fissata al dinamometro, è parte integrante di S. Dal punto di vista di S, che ovviamente si ritiene fermo, la forza agente sulla sferetta ha verso opposto a quello di f che accelera il sistema. Deduce allora che tutte le componenti del sistema ed il suo stesso corpo, essendo fermi l’uno rispetto all’altro, devono essere soggetti a forze reali proporzionali alle rispettive masse. Ho usato l’avverbio “probabilmente” perché l’osservatore potrebbe anche pensare che il suo sistema stia fermo sulla superficie terrestre e quindi essere soggetto ad una forza gravitazionale. Se S osserva un oggetto che si sgancia dal sistema (per esempio la sferetta fissata al dinamometro) e quindi accelera rispetto a lui, ora sa che in realtà non è l’oggetto ad essere soggetto ad una forza ma è il sistema S che accelera rispetto all’oggetto a causa di qualche forza. I corpi liberi, ossia non fissati ad S, non sono soggetti a forze reali. La loro è un’accelerazione cinematica, non dinamica. Invece le forze cui sono soggetti tutti i corpi fissati al sistema sono reali, dovute ad interazioni tra le varie parti del sistema. Se f e a sono parallele in generale la forza totale che accelera S si ripartisce fra tutte le componenti di S in parti proporzionali alle rispettive masse. La forza che spinge l’osservatore contro lo schienale e che allunga la molla fissata alla sferetta, è dovuta alla tendenza dei corpi a non farsi accelerare ed è reale, non fittizia, è parte della forza totale che accelera il sistema S; ma rispetto ad S ha verso opposto. Sarebbe opportuno chiamare fittizie solo le forze che sembrano agire su corpi non fissati al sistema e che hanno la medesima accelerazione rispetto ad S. Possiamo invece continuare a chiamare inerziali le forze agenti sui corpi fissati al sistema e che, come abbiamo visto, non sono affatto apparenti ma reali. Anche se l’osservatore non facesse alcun esperimento, non dovrebbe attendere molto tempo per capire che il suo è un sistema accelerato. Prima o poi il carburante che accelera il sistema si consuma, le forze misteriose scompaiono ed S diventa un RI. In base al principio di equivalenza di Einstein si sostiene che l’osservatore S non sia in grado di stabilire mediante esperimenti, senza guardare fuori e senza comunicare con l’esterno, se il suo sistema accelera rispetto ad un RI, per effetto di una forza non gravitazionale, oppure è fermo in un campo gravitazionale. In tali condizioni non sarebbe possibile distinguere una forza inerziale da una gravitazionale per cui forza inerziale e forza gravitazionale sarebbero equivalenti. In realtà un semplice esperimento permette all’osservatore fissato ad S, che supponiamo essere un fisico sperimentale dotato di un buon laboratorio, di capire se S accelera rispetto ad un RI per effetto di una forza non gravitazionale, oppure è soggetto alla forza gravitazionale di un pianeta sul quale è fermo. Nell’esperimento si sfrutta il fatto che dal secondo principio della dinamica f = ma, con f costante, segue che se varia la massa m varia, di conseguenza, anche l’accelerazione. Siano C1, C2 due corpi di masse m1, m2 appesi, nel sistema S, a due dinamometri. Supponiamo m1 < m2 e siano f1, f2 i valori delle forze registrate dai dinamometri. Se l’osservatore lascia cadere contemporaneamente i due corpi trova che essi raggiungono la base di S nello stesso istante e quindi hanno la stessa accelerazione, quella del sistema f/(m - m1 - m2) ma cambiata di segno. In tal caso egli può solo affermare che nel suo sistema gli oggetti lasciati cadere contemporaneamente raggiungono la base tutti nello stesso istante per cui cadono con uguale accelerazione, ma nulla può concludere circa la natura della forza agente sui due corpi, se è inerziale o gravitazionale. Decide allora di far cadere i corpi uno alla volta e determina le relative accelerazioni a1 e a2. Se a1 = a2 il sistema è fermo in un campo gravitazionale; sappiamo, infatti, che gli oggetti terrestri cadono sul suolo tutti con la medesima accelerazione. Se a1 < a2 allora il sistema S sta accelerando a causa di una forza non gravitazionale. Quando cade il corpo C1, la massa del sistema non è più m, ma m - m1 mentre la forza applicata ad S è sempre f. Per cui la nuova accelerazione del sistema ora è a1 = f/(m - m1) e tale deve essere, ma di segno opposto, l’accelerazione di C1 rispetto ad S. Il dinamometro segnava per C1 la forza f1 per cui deve essere a = f1/m1 = f/m = (f - f1)/(m - m1) = f/(m - m1) - f1/(m - m1) = a1 – a’ avendo posto a’ = f1/(m - m1). Quindi a1 > a. Dopo essere caduto, il corpo C1 fa di nuovo parte del sistema. A questo punto l’osservatore lascia cadere il corpo C2. Durante la caduta il sistema ha massa m - m2 e quindi accelerazione a2 = f/(m – m2) e tale deve essere (anche se di segno opposto) l’accelerazione di C2. Con lo stesso procedimento si ha a = f2/m2 = f/m = (f – f2)/(m – m2) = f/(m – m2) – f2/(m – m2) = a2 – a” avendo posto a”= f2/(m – m2). Quindi se m1 < m2, e si fanno cadere i corpi uno alla volta, si trova a1 < a2 e più precisamente a1= f/(m - m1) < f/(m - m2) = a2. Le due accelerazioni sono diverse tra loro ed anche da a. Concludendo, l’osservatore solidale ad S può dedurre se il suo sistema è fermo sulla superficie della Terra o sta accelerando a causa di una forza non gravitazionale: sempre nell’ipotesi che sia m 1 < m 2, se a 1 = a 2 allora il sistema è fermo su un astro e quindi le forze che osserva sono gravitazionali; se invece a 1 < a 2 il sistema sta accelerando rispetto ad un RI a causa di una forza non gravitazionale e quindi le forze che osserva sono inerziali. Possiamo concludere che Il principio di equivalenza di Einstein non è rigorosamente vero.

Poichérispetto al sistema centralesi ha a = G(M+m)/d^2, due pianeti (satelliti naturali) con masse diverse non possono avere per sempre la stessa orbita attorno all’astro (pianeta). Infatti quello di massa maggiore, essendo dotato di accelerazione maggiore, prima o poi raggiunge l’altro. Se la collisione non è violenta i due pianeti (o satelliti) si fondono in uno solo, altrimenti si frantumano come è accaduto ai due pianetini che hanno generato la fascia di asteroidi tra Marte e Giove. Anche la Luna potrebbe essersi formata in seguito alla collisione di due lune con masse diverse che percorrevano la stessa orbita attorno alla Terra. La diversa morfologia geo-fisica della faccia visibile e di quella nascosta ne è un indizio. I corpuscoli di uno stesso anello di Saturno hanno uguale massa m1 e ruotano con la medesima velocità v1. I corpuscoli di un altro anello hanno uguale massa m2 e ruotano con la medesima velocità v2. Ma m1 ≠ m2 per cui v1 ≠ v2. Frammenti con massa maggiore, essendo più accelerati, e quindi più veloci, si trovano su un anello più vicino al pianeta, frammenti con massa minore si trovano su un anello più distante. Si sostiene (vedi per esempio pag 58 di Lagrande storia del tempo di Stephen Hawking), che in base al principio di equivalenza, il tempo scorra più lentamente in prossimità di un astro, ossia in un campo gravitazionale che lontano da esso. Il tempo non è una sostanza fisica che può muoversi, scorrere accelerare, rallentare o fermarsi. Il concetto di tempo ha senso solo se è in relazione al divenire, al moto, all’evoluzione di un sistema. Il tempo non può essere semplicemente ciò che si misura con un orologio; con un orologio si misurano gli intervalli temporali, non il tempo. Se due o più orologi non segnano lo stesso tempo non diciamo che per alcuni di essi il tempo accelera o rallenta ma soltanto che alcuni vanno “avanti”, altri “indietro”; se abbiamo due piantagioni di fragole, uno sotto serra, l’altro all’aria aperta, non diciamo che sotto serra il tempo scorre più velocemente solo perché le fragole maturano prima. La durata di un fenomeno in una località dipende dalle condizioni fisiche locali, non dal tempo che scorre più o meno lentamente. La rotazione della Terra attorno al proprio asse, alcuni miliardi di anni fa, era più veloce, però non diciamo che in quell’epoca il tempo scorreva più velocemente di ora. Un anno è il tempo che, nell’epoca attuale, impiega la Terra per compiere una rivoluzione attorno al Sole qualunque. Se un astronauta, al ritorno dal suo viaggio sulla Terra, sostiene che per lui sono passati dodici anni da quando è partito e invece suo fratello gemello rimasto sulla Terra sostiene che sono passati venti anni, chi ha ragione? Entrambi perché la durata di un anno dell’uno non corrisponde alla durata dell’anno dell’altro. L’astronauta non è più giovane del fratello gemello. Il numero di rivoluzioni della Terra attorno al Sole durante il viaggio dell’astronauta sono venti per entrambi, quindi sono passati venti anni terrestri e non dodici. I dodici anni segnati dall’orologio dell’astronauta sono equivalenti ai venti anni del fratello rimasto sulla Terra. Forse l’orologio dell’astronauta, durante le fasi di accelerazioni, ha avuto un ritmo più lento di quello che aveva sulla Terra prima di partire ma non per questo il viaggio per l’astronauta è durato meno tempo. Una clessidra o un orologio a pendolo che si trovano, assieme ad un osservatore, in un ascensore in caduta libera, non funzionano perché nel loro sistema di riferimento l’accelerazione gravitazionale è nulla. Ma non per questo il tempo si ferma nell’ascensore. Consideriamo due osservatori in un razzo che accelera, uno in cima alla cupola, SC e l’altro alla base, SB dotati di orologi identici. Essi sono soggetti alla stessa accelerazione e pertanto scandiscono il tempo allo stesso modo anche se, probabilmente, in modo diverso da un orologio che non accelera o che si basa su un diverso principio di funzionamento. L’osservatore in alto invia verso il basso segnali luminosi con frequenza ν e quindi intervallati di T = 1/ν. Ogni segnale percorre uno spazio minore del precedente perché la base accelera verso di esso, quindi impiega meno tempo di quello precedente per arrivare alla base con la conseguenza che la frequenza ν’ registrata dall’osservatore SB è maggiore di ν. In realtà non si può parlare di vera frequenza ν’ registrata da SB in quanto il tempo T’ tra l’arrivo di un segnale ed il successivo non è costante ma diventa sempre più piccolo e quindi la frequenza ν’ sempre maggiore. I due osservatori, coi loro orologi, sono soggetti alla stessa accelerazione per cui il tempo scorre allo stesso modo per entrambi. Ciò che cambia tra l’invio di un segnale e il successivo è solo il tempo che impiega ciascun segnale per raggiungere la base dovendo percorrere uno spazio sempre minore. I due osservatori SB, SC possono capire che il razzo sta accelerando, e non fermo su un pianeta, proprio perché la frequenza ν’ registrata da SB è maggiore di ν e variabile. Il caso in cui il razzo è fermo sulla superficie della Terra non è equivalente al precedente; l’intensità del campo gravitazionale non è la stessa alla base e in cima al razzo. Ora i segnali luminosi impiegano tutti lo stesso tempo T’ per arrivare alla base perché percorrono sempre lo stesso spazio e si ripetono nelle medesime condizioni fisiche. Consegue che la frequenza ν’ registrata da SB è costante e uguale a ν. Poiché è possibile per i due osservatori stabilire se il razzo accelera nello spazio profondo lontano da astri oppure è fermo su un pianeta, ancora una volta dobbiamo concludere che il principio di equivalenza non è rigorosamente vero. Le conclusioni precedenti circa la frequenza ν’ non dipendono dal fatto che i segnali emessi da SC siano impulsi luminosi piuttosto che particelle materiali. I fotoni, non avendo massa, e quindi inerzia, partono da SC sempre con la stessa velocità c della luce indipendentemente dall’accelerazione del razzo; ricordiamo che la velocità della luce non dipende dalla velocità della sorgente che la emette. La velocità iniziale delle particelle materiali, invece, si somma alla velocità che ha il razzo in quel particolare istante. In ogni caso la frequenza registrata da SB cresce quando il razzo accelera indipendentemente dalla natura dei segnali. Invece quando il razzo è fermo sulla superficie del pianeta il tempo che impiega una particella per raggiungere la base è sempre lo stesso, in ogni lancio, perché le condizioni al contorno rimangono immutate e quindi ν’= ν.

Se un sistema S, mentre si avvicina con velocità v ad un ricevitore R, lancia un proiettile con velocità u, ogni Ts secondi verso R, e quindi con frequenza νs = 1/Ts, ad R arrivano proiettili con periodo Tr < Ts e quindi con frequenza νr > νs. Però nessuno penserebbe che l’orologio di R scandisce il tempo più lentamente dell’orologio di S in caso di avvicinamento e più velocemente in caso di allontanamento. Ritornando al razzo accelerato si afferma, in base al principio di equivalenza, che il tempo scorre tanto più lentamente quanto più siamo vicini ad un astro. Se il razzo è fermo sulla Terra i segnali successivi inviati da Sc impiegano sempre lo stesso tempo per arrivare alla base perché, contrariamente al caso del razzo accelerato, non cambiano le condizioni fisiche tra l’invio di un segnale ed il successivo. I segnali luminosi, nel razzo che accelera, rispetto all’osservatore SB hanno velocità crescente e maggiore di c. Consegue, se il principio di equivalenza fosse assolutamente vero, che anche in un campo gravitazionale la luce dovrebbe accelerare quando si avvicina ad un astro. Invece, proprio in base alla soluzione di Schwarzschild delle equazioni di campo, la luce rallenta avvicinandosi all’astro. Ciò è sufficiente per concludere, ancora una volta, che il PE non è applicabile nemmeno ai fenomeni elettromagnetici.

Supponiamocherispetto ad un RI un razzo acceleri mentre un raggio di luce procede di moto rettilineo uniforme. Rispetto al razzo, che non è un RI, è il raggio di luce che accelera e, se non è parallelo alla direzione della sua velocità, si flette descrivendo una traiettoria parabolica, per la classica composizione delle velocità. La traiettoria di una particella varia al variare dell’osservatore. In base al principio di equivalenza l’osservatore del razzo dovrebbe dedurre che la luce si flette anche in prossimità di un astro. Un osservatore inerziale lontano dovrebbe vedere il raggio luminoso avvicinarsi all’astro con moto rettilineo uniforme, come quando attraversava il razzo, mentre l’osservatore non inerziale, che si trova nel campo gravitazionale, dovrebbe vedere il raggio luminoso flettersi come nel razzo accelerato. Ora, però, mentre nessuno si è recato sul Sole o un astro molto massiccio per osservare il fenomeno sul posto, un osservatore terrestre, che si può considerare inerziale per la notevole distanza dal Sole, non dovrebbe osservare che i raggi luminosi curvano in prossimità del Sole così come non li vedeva curvare nel razzo. Poiché effettivamente si flettono, quando invece non dovrebbero farlo, l’osservatore terrestre dovrebbe concludere che il loro curvarsi non ha nulla a che vedere col principio di equivalenza. Anzi, per il principio di falsificabilità di Popper, dobbiamo concludere che il principio di equivalenza non è rigorosamente vero. La flessione è dovuta al fatto che la luce perde velocità avvicinandosi all’astro, dove il campo gravitazionale è più intenso.


Nuova teoria della gravità  

Postulati

L’Universo è finito e limitato. Oltre i confini dell’Universo esiste lo spazio infinito, tridimensionale, euclideo, privo di ogni forma di energia.

L’universo è permeato di un fluido omogeneo costituito di particelle esotiche che chiameremo gravitini. I gravitini costituiscono l’essenza dell’universo.

I gravitini hanno solo il nome in comune con le particelle supersimmetriche dei gravitoni. Useremo, con lo stesso significato, termini come fluido gravitinico,fluido cosmico, spazio fisico.

Il fluido gravitinico, come qualsiasi gas, si espande aumentando il suo volume e quindi le dimensioni dell’universo.

I gravitini sono particelle di pura energia. L’energia di ogni gravitino è multiplo intero di un valore minimo E. Chiameremo equivalenti, o uguali, due gravitini con uguale contenuto energetico, diversi due gravitini non equivalenti , elementari i gravitini aventi energia minima E .

I gravitini sono particelle elementari prive di massa, di qualsiasi carica e di spin.

Essi si muovono in tutte le direzioni con la stessa velocità c che ha la luce, nell’epoca attuale, nel presunto vuoto e lontano da campi gravitazionali. La velocità c dei gravitini è costante nel tempo e nello spazio.

Ammettiamo, come principio fondamentale, che nelle collisioni con le particelle materiali i gravitini cedano la loro energia e quantità di moto. L’energia ceduta si può manifestare nei corpi sotto diverse forme: gravitazionale, cinetica, termica, .... Il fluido gravitinico permea non solo gli spazi galattici e intergalattici ma gli stessi spazi all’interno dei corpi e degli atomi. L’universo è costituito essenzialmente di gravitini. I gravitini interagiscono molto poco con la materia: attraversano i corpi con estrema facilità. Soltanto una frazione esigua di essi collidendo con la materia vengono assorbiti trasformandosi in altre forme di energia. Gravitini diversi non interferiscono fra loro. Invece due gravitini equivalenti collidendo si annichilano trasformandosi in una coppia di particelle virtuali; la natura e le proprietà delle particelle virtuali create dipendono dall’energia dei gravitini equivalenti che le hanno generate. La particella e l’antiparticella virtuali prodotte, se non sono subito allontanate l’una dall’altra in seguito a collisioni con altre particelle o gravitini molto energetici, si annichilano, a loro volta, in una frazione infinitesima di secondo, trasformandosi in due gravitini equivalenti o, in due fotoni virtuali.

Forza di gravità

Una conseguenza dell’assorbimento dei gravitini da parte della materia è la generazione della forza gravitazionale. Come si è detto solo una minima percentuale di gravitini sono assorbiti dai corpi; la materia ordinaria non è opaca ai gravitini, ma neppure del tutto trasparente.

Gli urti dei gravitini con le particelle ordinarie sono anelastici: i gravitini quando arrivano su un corpo, qualunque sia la sua costituzione chimico-fisica, non rimbalzano; alcuni sono assorbiti, altri attraversano il corpo e fuoriescono dalla parte opposta. Un astro, o un qualsiasi corpo isolato, a causa dell’omogeneità del fluido cosmico, mediamente non riceve più impulsi da parte dei gravitini in una direzione piuttosto che in un’altra e quindi, pur acquistando energia, la sua quantità di moto totale Q rimane costante. Una stella, o una galassia, o un ammasso di galassie, se sono molto distanti uno dall’altro, si possono considerare fermi rispetto allo spazio fisico. Per questo motivo il sistema delle cosiddette stelle fisse è un buon riferimento inerziale e un ammasso di galassie lo è ancora di più. Così come ha senso parlare di quiete e di moto di un corpo rispetto all’acqua del mare o rispetto all’aria, o rispetto a qualsiasi altro fluido, e perfino rispetto alla radiazione cosmica di fondo, allo stesso modo ha senso parlare di quiete e di moto rispetto allo spazio fisico.

Poiché nel sistema solare nessun materiale è opaco ai gravitini e il fluido cosmico presenta scarsissima resistenza al moto dei corpi, non possiamo stabilire se rispetto allo spazio fisico stiamo fermi o ci muoviamo di moto rettilineo uniforme; crediamo di percepire molto bene, invece, il moto accelerato. In realtà ciò che percepiamo sono le forze agenti sui vari corpi ed anche sul nostro. L’inerzia e la gravità, come vedremo, sono entrambe conseguenza dell’assorbimento asimmetrico dei gravitini da parte della materia. Le forze inerziali si manifestano quando un sistema effettivamente accelera rispetto al fluido cosmico e non quando accelera rispetto ad un altro sistema di riferimento. Dall’ipotesi che la densità del fluido gravitinico sia costante, a livello locale, consegue che è pure costante il numero di gravitini che arrivano dall’esterno, nell’unità di tempo, sull’unità di superficie di un astro molto lontano da altri corpi celesti. Pertanto la variazione della quantità di moto totale Q dei gravitini assorbiti dall’astro, in un qualsiasi intervallo di tempo, è mediamente nulla. Invece il numero di gravitini che fuoriescono, sempre per unità di tempo e di superficie, dipende dalla massa dell’astro (corpo) ed è, a parità di volume, tanto minore quanto maggiore è la sua massa. Quanto maggiore è la densità del corpo, tanto maggiore è laprobabilità che i gravitini che lo attraversano siano intercettati e quindi assorbiti dalle particelle costituenti il corpo stesso. Perciò in un dato intervallo di tempo i gravitini uscenti sono meno numerosi di quelli entranti. E’ ovvio, inoltre, che per un astro di data densità, il numero di gravitini assorbiti dipende dalle dimensioni e quindi dal suo raggio. Ciò comporta che la densità del fluido gravitinico è minima in prossimità dell’astro e cresce asintoticamente con la distanza. Il gradiente barico dovuto alla diversa densità gravitinica attorno all’astro, essendo una modifica dello spazio fisico, definisce il campo gravitazionale dell’astro. Il campo gravitazionale non è più soltanto un concetto matematico ma assume un significato fisico in quanto rappresenta effettivamente una modifica dello spazio fisico. Se l’astro è sufficientemente distante da altri corpi celesti, e quindi non è soggetto ad alcuna forza, la quantità di moto totale ceduta ad esso dai gravitini è sostanzialmente nulla: l’astro rimane in equilibrio dinamico ossia, come si dice, fluttua liberamente nello spazio fisico.

Consegue che un corpo, che si trovi in prossimità di un astro, non è bombardato dai gravitini con la stessa intensità in tutte le direzioni; nella direzione dell’astro, e in un dato intervallo di tempo, il numero di collisioni dei gravitini provenienti dall’esterno e che spingono il corpo verso l’astro è maggiore del numero di collisioni dei gravitini che provengono dall’interno e che tendono ad allontanare il corpo dall’astro.

Il peso del corpo sulla terra, come su un qualsiasi astro, è dovuto alla differenza di queste spinte.

Per lo stesso motivo l’astro riceve, da parte dei gravitini, una uguale spinta verso il corpo.

La presenza di un astro nello spazio fisico rompe l’uniformità della densità gravitinica attorno ad esso producendo un gradiente barico gravitinico, ossia un campo gravitazionale ; l a presenza di un secondo astro rompe la simmetria sferica di ciascun campo gravitazionale lasciando solo una simmetria assiale, nella direzione dei due corpi: questa rottura di simmetria del gradiente barico gravitinico comporta una spinta dei due corpi l’uno verso l’altro e quindi quella che comunemente si chiama forza di gravità.

Sulle facce esterne dei due astri giungono più gravitini che non sulle facce interne. Consegue che in qualsiasi intervallo di tempo la quantità di moto totale dei gravitini assorbiti da un astro, a causa della presenza del secondo, non è nulla. Ognuno dei due corpi riceve un impulso e quindi una spinta verso l’altro.La gravità non è una forza attrattiva, ma di spinta.

La variazione del gradiente barico gravitinico attorno a ciascun astro, essendo una variazione dello spazio fisico, ci ricorda, in qualche modo, la presunta distorsione dell’ipotetico spazio-tempo che, secondo Einstein, è generata dalle masse. Nello spazio fisico modificato in prossimità di un astro i corpi sono spinti nella direzione e verso in cui la densità gravitinica decresce più rapidamente. I corpi producono nello spazio fisico un gradiente che, a sua volta, dice ai corpi come muoversi, ossia nella direzione e verso in cui la densità dei gravitini decresce più rapidamente. L’idea che lo spazio vuoto possa essere curvato dalla materia non ha senso fisico. La presenza della materia modifica, invece, la densità dello spazio fisico, che non è vuoto, generando in ogni punto un gradiente barico gravitinico che spinge i corpi obbligandoli a muoversi in un certo modo. E’ questa la forza di gravità. La forza di gravità non è una forza a distanza, non è una forza apparente e nemmeno un effetto geometrico, ma semplicemente un’azione meccanica esercitata dai gravitini sui corpi.

La massa dei corpi, che prendiamo in considerazione, è intesa, a livello intuitivo, come la quantità di materia in essi contenuta, e quindi come somma delle masse delle particelle che costituiscono i corpi. Poiché in tal senso la massa viene ad essere una grandezza non misurabile operativamente, ci riferiremo alla massa che compare nel secondo principio della dinamica, ossia a quella che viene chiamata massa inerziale. Troveremo la relazione che intercorre tra massa inerziale e massa gravitazionale. Vedremo che la differenza tra le due masse non è concettuale ma solo formale e, in generale, talmente piccola da non poter essere osservata sperimentalmente.

Facciamo l’ipotesi, abbastanza plausibile, che il numero di gravitini assorbiti da un corpo, fra quelli che arrivano su esso in un dato tempo, sia proporzionale, in prima approssimazione, alla densità e al raggio dello stesso corpo. Consideriamo un corpo di massa m, che si trovi a distanza d dal centro di un astro di massa M. Applicando il secondo principio della dinamica, nella forma FΔt = ΔQ, siottienela legge della gravitazione di Newton. F è il valore medio della forza cui è soggetto il corpo nell’intervallo di tempo Δt se, in questo intervallo di tempo, esso assorbe dai gravitini la quantità di moto ΔQ. ΔQ è proporzionale alla differenza tra il numero di gravitini assorbiti dal corpo e provenienti dall’esterno e il numero di gravitini assorbiti dal corpo e provenienti dall’astro. L’intensità della forza gravitazionale è una grandezza fluttuante, con piccolissimi scostamenti dal valore medio. Si dimostra, in base alle ipotesi fatte, che il corpo è soggetto alla forza F

F = (4/3)πGρdm (1)

essendo ρ = 3M/(4πd^3). Indicato con R il raggio dell’astro, allora

se d > R, ρ è la densità media che avrebbe l’astro se, a parità di massa M, avesse raggio d;

se d ≤ R, ρ rappresenta la densità media della sfera concentrica con l’astro e di raggio d. In quest’ultimo caso se l’astro ha una cavità sferica centrale di raggio r, dovendo essere ρ = 0 al suo interno, in tale regione il corpo non è soggetto ad alcuna forza. Ovviamente in ogni punto interno alla cavità anche il campo gravitazionale g = F/m è nullo. All’esterno dell’astro, ossia per d > R, la (1) si può interpretare dicendo:

la forza cui é soggetto un corpo di massa m posto a distanza d >R dal centro dell’astro di massa M, é la stessa che si avrebbe se l’astro avesse raggio d ma sempre massa M. Dalla (1) consegue che l’espressione del campo gravitazionale in un punto dello spazio

g = (4/3)πGρd (2)

è corretta a qualunque sia la distanza d del punto dal centro dell’astro. Nei testi di fisica viene riportata come espressione del campo gravitazionale la formula newtoniana

g = GM/d^2 (2’)

mettendo in risalto come g vari con l’inverso del quadrato della distanza d dal centro dell’astro. Si ricorre alla (2) solo per far vedere come varia g all’interno di un astro. Vari autori per spiegare come mai il campo gravitazionale terrestre ai poli è maggiore che all’equatore adducono due motivazioni. La prima consiste nel fatto che spostandoci dall’equatore ai poli diventa sempre più piccola l’intensità della forza centrifuga, dovuta alla rotazione della Terra, e che va sottratta al peso dei corpi. La seconda consiste nel fatto che, a causa della forma della Terra, ai poli la distanza d dal centro del pianeta è minore che all’equatore e quindi, per la (2’), g è maggiore. Delle due motivazioni solo la prima è corretta. Se infatti la seconda motivazione fosse giusta allora si dovrebbe dedurre che se la Terra fosse ancora più schiacciata l’accelerazione di gravità ai poli dovrebbe essere ancora maggiore. Al limite, facendo tendere d a zero, ossia per un pianeta avente la forma di una frittella, l’accelerazione ai poli dovrebbe essere molto elevata. Sappiamo, invece, che nel centro di un pianeta piatto g vale zero. Se si utilizza la (2) si vede subito che g decresce al diminuire di d e che vale zero per d = 0.

Nel caso d ≥ R Newton ha dimostrato che il campo gravitazionale generato da un astro è lo stesso che si avrebbe se la sua massa fosse concentrata tutta nel centro di massa. Non c’è dubbio sull’utilità pratica di questo teorema ma, dal punto di vista fisico, non è concepibile addensare tutta la massa in un solo punto. Ciò genera confusione, oltre alla nota singolarità nel centro di massa, che affligge, in particolare, la relatività generale. Nella teoria dei gravitini si trova, per la “costante” di gravitazione di Newton G, l’espressione

G = 6A^2 NE/(cπ^3)

in cui N è il numero di gravitini elementari che arrivano, mediamente, dall’esterno sull’unità di superficie dell’astro nell’unità di tempo, A è un opportuno coefficiente, detto di assorbimento, E è l’energia di un gravitino elementare e c la velocità dei gravitini. Un gravitino non elementare di energia n E equivale ad n gravitini elementari.

Per un astro perfettamente sferico e non molto massiccio la (1) si può scrivere nella nota forma

F = GMm/d^2 (3)

Se però l’astro è di grosse dimensioni o è molto denso, si capisce che il numero di gravitini assorbiti non può essere proporzionale né allo spessore (raggio), né alla densità. In un campo gravitazionale molto intenso la legge di Newton non è corretta. Se il prodotto ρR ha un valore abbastanza grande, il campo g in prossimità dell’astro è dato da

g = H[1- exp(-4AρR/π)] (4)

con

H = 2A NE/(π c)

Se l’astro è sferico, e quindi ρ = 3M/(4πR^3), la (4) si può scrivere nella forma

g = H[1- exp(-KM/R^2)] (5)

dove si è posto

K = 3A/π^2 = G/H con G costante gravitazionale newtoniana.

Essendo 0 < exp(-4AρR/π) < 1 risulta g < H.

Quindi il campo gravitazionale generato da un astro molto massiccio, da una stella di neutroni o da una massa enorme, come gli oggetti che si trovano nel centro delle galassie, non può essere comunque intenso ma soddisfare alla relazione: g ≤ H. C’era da aspettarsi una tale conclusione in quanto un qualsiasi astro, per quanto massiccio, in un dato tempo Δt, non può assorbire più gravitini di quanti ne arrivino su esso nello stesso tempo: il valore massimo di H si ha quando l’astro assorbe quasi tutti i gravitini che arrivano su esso ossia quando da esso non fuoriesce praticamente alcun gravitino. In tal caso diciamo che il campo è saturo. L’orbita di un pianeta in base alla (4) o alla (5) non è kepleriana, ma a rosetta, e si approssima tanto più ad un’ellisse quanto più piccolo è il valore di ρR ossia di M/R^2. L’espressione (5), e la più completa (6) riportata più avanti, si riducono alla legge di Newton quando il campo gravitazionale è debole. Posto KM/R^2 = x, consideriamo i grafici delle funzioni y = Hx e y = H[1- exp(-x)]. La retta di equazione y = Hx, ossia il campo gravitazionale newtoniano, è tangente nell’origine alla curva di equazione y = H[1- exp(-x)] che rappresenta il nuovo campo (5) e pertanto in un opportuno intorno dell’origine approssima molto bene la curva. Ciò significa che l’espressione (5) del campo gravitazionale si riduce alla legge di Newton g = GM/R^2 solo per campi deboli, come nel sistema solare. Si osserva che mentre il campo newtoniano può essere comunque intenso al crescere di M/R^2 , il valore di g, derivante dalla teoria dei gravitini, non solo cresce molto più lentamente, ma tende asintoticamente al valore massimo H al crescere di M/R^2.

Il valore del campo espresso dalla (5) è minore del campo newtoniano e la differenza è tanto più consistente quanto maggiore è M/R^2. Per ottenere una stima di H si dovrebbe disporre di valori estremamente precisi di alcuni parametri dei pianeti del sistema solare. In base ad alcune considerazioni possiamo assumere come valore attendibile H = 1.668∙10^6 m/s^2.

La teoria dei gravitini non prevede l’esistenza di buchi neri microscopici e nemmeno di buchi neri d’origine stellare; sono possibili soltanto buchi neri molto massicci come quelli che si trovano al centro delle galassie, con una massa di almeno dieci milioni di masse solari. Gli astri molto massicci, alla fine della loro evoluzione, non collassano in una singolarità ma al più in stelle di neutroni. I grandi buchi neri della teoria dei gravitini non hanno nulla di misterioso né presentano singolarità; sono semplicemente masse talmente grandi o concentrate che la luce non riesce ad allontanarsi da essi. Sulla superficie di ogni buco nero il campo gravitazionale assume il valore massimo costante H e quindi non dipende dalla sua massa; un dato oggetto ha lo stesso peso su ogni buco nero. Il campo gravitazionale di un buco nero è saturo ma non necessariamente un campo saturo racchiude un buco nero. Per due astri con masse M, m, a distanza d l’uno dall’altro, l’espressione generale della forza d’interazione gravitazionale è

F = Γd^2[1- exp(-KM/d^2)] [1- exp(-Km/d^2)] (6)

con Γ = H/K.

Poiché K = 4·10^(-17) m^2/Kg, nell’interazione Sole-Terra, indicate con M e m la massa del Sole e della Terra , rispettivamente, si ha

KM/d^2 ≈ 4·10^(-17)·2·10^30 /(1.5·10^11)^2 ≈ 3.5·10^(-9)

Km/d^2 ≈ 4·10^(-17)·5.98·10^ 24/(1.5·10^11)^2 ≈ 10 -14

Si tratta di quantità così piccole che non si commette errore apprezzabile se si arresta al primo termine lo sviluppo in serie di potenze dei fattori 1- exp(-KM/d^2) e 1- exp(-Km/d^2) che compaiono nella (6). In tal caso otteniamo

F ≈ Γ·d^2·(K·M/d^2)·(K·m/d^2) = HKMm/d^2 = GMm/d^2 (G = HK)

ossia la nota espressione della forza di gravità di Newton. Se applichiamo la (5) per calcolare il campo g in prossimità di una stella di neutroni avente massa M ≥ 2·10^30 Kg, raggio R = 5·10^3 m otteniamo g ≈ H =1,668·10^6 m/s^2 cioè il massimo valore del campo gravitazionale. Una stella di neutroni genera un campo gravitazionale saturo ma non è un buco nero. Applicando invece la formula di Newton g = GM/R^2 si ottiene g = 2.7·10^12 m/s^2 che è 1.6·10^6 volte maggiore di H. Se fosse possibile misurare il valore di g su una stella di neutroni si potrebbe capire subito che per campi così intensi la legge di Newton non è valida neppure in prima approssimazione. Per i pianeti del sistema solare la differenza fra i due valori di g è insignificante. Sul Sole, nonostante il campo gravitazionale sia abbastanza intenso, si ha una lievissima differenza fra i due valori di g. Essendo

M = 1.98·10^30 Kg; R = 6.96·10^8 m; G = 6.67·10^(-11) Nm^2/Kg^2;

K = 4·10^(-17) m^2/Kg; H = 1.668·10^6 m/s^2

si ha

g = GM/R^2 = 272,629 m/s^2

g = H[1- exp(-KM/R^2)] = 272,583 m/s^2

Generalmente, se uno dei due corpi è un pianeta, ossia ha una massa molto più piccola della stella attorno alla quale orbita, oppure si trova ad una distanza notevole, essendo, come già osservato,

1- exp(-KM/d^2) ≈ Km/d^2, la (6) si può scrivere nella forma non simmetrica

F = H[1- exp(-KM/d^2)]m (6’)

che mette in evidenza la centralità della massa M rispetto a m. Come si vede dalla (6) la forza di gravità solo in prima approssimazione è proporzionale alle masse dei corpi interagenti. Poiché la legge FΔt = ΔQ vale solo in un riferimento inerziale consegue che anche le varie espressioni di F e di g che abbiamo trovato sono valide soltanto in un riferimento inerziale. Nella (5), contrariamente a quanto si verifica nella legge di Newton, se si immagina tutta la massa di un astro concentrata nel suo centro non si ha più alcuna singolarità poiché g à H per R à 0.

Massa gravitazionale

La (6) suggerisce di definire come massa gravitazionale di un corpo, di massa inerziale m e posta alla distanza d da un astro, la quantità

m = d^2/K[1- exp(-Km/d^2)] (7)

In tal caso la (5) si può scrivere nella forma

g = H [1- exp(-KM/d^2)] = H(K/d^2)(d^2/K) [1- exp(-KM/d^2)] = G M/d^2 (8)

E la (6) nella forma

F = G Mm/d^2 (9)

essendo H/K = Γ, HK = G. In tal modo si mette in evidenza che le masse che compaiono nella legge di Newton sono masse gravitazionali, che, per come le abbiamo definite, sono formalmente diverse dalle masse inerziali. Ribadiamo però che la massa, intesa come quantità di materia di un corpo, senza gravitini, non genera né inerzia né gravità. A questo punto possiamo dire - la legge giusta di interazione gravitazionale tra due corpi non è quella newtoniana ma quella data dalla (6) dove M, m sono masse inerziali; oppure - la legge di interazione gravitazionale newtoniana (9) è giusta, ma ogni massa che compare in essa è massa gravitazionale definita dalla (7). Dallo sviluppo in serie di potenze della (7), dopo aver sostituito d con il raggio R dell’astro, si ha

m = [1- exp(-Km/R^2)] R^2/K = (R 2/K)· ( Km/R 2 - K 2m 2/2R 4 + … ) = m· (1- Km/2R 2 + ...)

e arrestando lo sviluppo al primo termine, otteniamo m = m con un errore inferiore al primo termine trascurato Km^2/(2R^2):

m – m < Km^2/(2R^2)

e quindi con un errore relativo

(m – m )/m < Km/2R 2 (10)

Sulla superficie terrestre, essendo R = 6.38·10^6 metri e K = 4·10^(-17) metri^2/Kg , detto n il numero di chilogrammi del corpo di massa m, si ha

Km/2R^2 = 4·10^(–17)/(2· 6,38^2·10^12)·n = 4,9·10^(-31)·n

e quindi (m – m )/m < Km/2R^2 = 4,9·10^(-31)· n

cioè m /m = 1 con un errore inferiore a 4,9·10^(-31)n. Come si vede l’errore è tanto più piccolo quanto minore è la massa m del corpo. Se per esempio n = 10 Kg allora (m - m )/m < 4,9·10^(-30). Essendo m < m, M < M, il peso effettivo p = G Mm /R^2 di un corpo risulta essere leggermente minore di GMm/R^2. Sulla Terra si può continuare ad assumere m = m anche per corpi con massa abbastanza grande e quindi esprimere il peso p del corpo con la solita formula p = mg . A causa dell’esiguità dell’errore (10), che si commette sostituendo m con m , ora si capisce perché nessun esperimento è riuscito mai ad evidenziare la differenza esistente tra massa inerziale e massa gravitazionale. Osserviamo che la massa gravitazionale di un corpo, per come è stata definita, ha senso solo se è relativa ad un astro in quanto dipende dalla distanza da esso; se il corpo è molto lontano dagli astri, se cioè è isolato dal punto di vista gravitazionale, allora si ha m = m come si deduce dall’espressione di m quando si fa tendere la distanza d all’infinito. Quanto minore è la distanza del corpo dall’astro tanto minore è il valore di m .Consegue che quello di massa gravitazionale è un concetto relativo alla posizione del corpo rispetto ad un astro. Così la Luna ha una massa inerziale m ben determinata ma, rispetto alla Terra, la sua massa gravitazionale m al perigeo è minore che all’apogeo. Mentre la massa di un corpo è una grandezza additiva, la massa gravitazionale, e quindi il suo peso, come si nota dall’espressione di m , lo è solo in prima approssimazione.